Логарифмічні рівняння! ІІ. Актуалізація опорних знань. Перехід до нової основи

20.09.2019 Тепла підлога

Одним із елементів алгебри примітивного рівня є логарифм. Назва походить з грецької мовивід слова "число" або "ступінь" і означає ступінь, в який необхідно звести число, що знаходиться в підставі, для знаходження підсумкового числа.

Види логарифмів

log a b – логарифм числа b на підставі a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
lg b - десятковий логарифм(логарифм на підставі 10, a = 10);
ln b - натуральний логарифм (логарифм на основі e, a = e).

Як вирішувати логарифми?

Логари́м числа b за основою a є показником ступеня, який вимагає, щоб у число b звели основу а. Отриманий результат вимовляється так: "логарифм b на підставі а". Рішення логарифмічних завдань полягає в тому, що вам необхідно визначити цей ступінь за числами за вказаними числами. Існують деякі основні правила, щоб визначити чи вирішити логарифм, а також перетворити сам запис. Використовуючи їх, здійснюється рішення логарифмічних рівнянь, знаходяться похідні, вирішуються інтеграли та здійснюються багато інших операцій. В основному, рішенням самого логарифму є його спрощений запис. Нижче наведено основні формули та властивості:

Для будь-яких a; a > 0; a ≠ 1 і для будь-яких x; y > 0.

a log a b = b – основна логарифмічна тотожність
log a 1 = 0
log a a = 1
log a (x · y) = log a x + log a y
log a x / y = log a x - log a y
log a 1/x = -log a x
log a x p = p log a x
log a k x = 1/k · log a x , при k ≠ 0
log a x = log a c x c
log a x = log b x / log b a – формула переходу до нової основи
log a x = 1/log x a

Як вирішувати логарифми – покрокова інструкція рішення

Спочатку запишіть необхідне рівняння.

Зверніть увагу: якщо в логарифмі з основи стоїть 10 , запис укорочується, виходить десятковий логарифм. Якщо стоїть натуральне числотобто записуємо, скорочуючи до натурального логарифму. Мається на увазі, що результат всіх логарифмів - ступінь, в який зводиться число підстав до отримання числа b.

Безпосередньо рішення і полягає у обчисленні цього ступеня. Перш ніж вирішити вираз із логарифмом, його необхідно спростити за правилом, тобто, користуючись формулами. Основні тотожності ви зможете знайти, повернувшись трохи назад у статті.

Складаючи та віднімаючи логарифми з двома різними числами, але з однаковими підставами, замінюйте одним логарифмом з добутком чи розподілом чисел b та з відповідно. У такому разі можна застосувати формулу переходу до іншої основи (див. вище).

Якщо ви використовуєте вирази для спрощення логарифму, необхідно враховувати деякі обмеження. Тобто: основа логарифму а – лише позитивне число, але з рівне одиниці. Число b, як і а, має бути більшим за нуль.

Є випадки, коли спростивши вираз, ви не зможете обчислити логарифм у числовому вигляді. Буває, що такий вираз не має сенсу, адже багато ступенів – ірраціональні числа. За такої умови залиште рівень числа у вигляді запису логарифму.

Логарифмічні вирази, розв'язання прикладів. У цій статті ми розглянемо завдання, пов'язані з вирішенням логарифмів. У завданнях порушується питання про знаходження значення висловлювання. Потрібно відзначити, що поняття логарифму використовується в багатьох завданнях і розуміти його сенс є вкрай важливим. Що стосується ЄДІ, то логарифм використовується при вирішенні рівнянь, у прикладних завданнях, а також у завданнях пов'язаних із дослідженням функцій.

Наведемо приклади для розуміння самого змісту логарифму:

Основна логарифмічна тотожність:

Властивості логарифмів, які необхідно завжди пам'ятати:

*Логарифм твору дорівнює сумілогарифмів співмножників.

* * *

*Логарифм приватного (дробу) дорівнює різниці логарифмів співмножників.

* * *

*Логарифм ступеня дорівнює добутку показника ступеня на логарифм його заснування.

* * *

*Перехід до нової основи

* * *

Ще властивості:

* * *

Обчислення логарифмів тісно пов'язані з використанням властивостей показників ступеня.

Перерахуємо деякі з них:

Суть цієї властивості полягає в тому, що при перенесенні чисельника у знаменник і навпаки, знак показника ступеня змінюється на протилежний. Наприклад:

Наслідок з цієї властивості:

* * *

При зведенні ступеня в ступінь основа залишається незмінною, а показники перемножуються.

* * *

Як ви переконалися саме поняття логарифму нескладне. Головне те, що потрібна хороша практика, яка дає певну навичку. Вочевидь знання формул обов'язково. Якщо навичка у перетворенні елементарних логарифмів не сформована, то при вирішенні простих завдань можна легко припуститися помилки.

Практикуйтесь, вирішуйте спочатку найпростіші приклади з курсу математики, потім переходьте до складніших. У майбутньому обов'язково покажу, як вирішуються «страшні» логарифми, таких на ЄДІ не буде, але вони становлять інтерес, не пропустіть!

На цьому все! Успіху Вам!

З повагою, Олександр Крутицьких

PS: Буду вдячний Вам, якщо розповісте про сайт у соціальних мережах.

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різноманітну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, адресу електронної поштиі т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальних пропозиціях, акціях та інших заходах та найближчих подіях.
Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних дослідженьз метою покращення послуг наданих нами та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

Цим відео я починаю довгу серію уроків про логарифмічні рівняння. Зараз перед вами одразу три приклади, на основі яких ми вчитимемося вирішувати самі прості завдання, які так і називаються найпростіші.

log 0,5 (3x − 1) = −3

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

Нагадаю, що найпростішим логарифмічним рівнянням називається таке:

log a f(x) = b

При цьому важливо, щоб змінна х присутня тільки всередині аргументу, тобто тільки функції f (x ). А числа а і b є саме числами, а в жодному разі не функціями, що містять змінну х.

Основні методи вирішення

Існує безліч способів розв'язання таких конструкцій. Наприклад, більшість вчителів у школі пропонують такий спосіб: Відразу висловити функцію f(x) за формулою f ( x) = a b. Т. е. коли ви зустрічаєте найпростішу конструкцію, відразу без додаткових дій і побудов можете перейти до рішення.

Так, безумовно, рішення вийде правильним. Однак проблема цієї формули полягає в тому, що більшість учнів не розуміютьзвідки вона береться і чому саме букву а ми зводимо в букву b.

В результаті я часто спостерігаю дуже образливі помилки, коли, наприклад, ці літери змінюються місцями. Дану формулу потрібно або зрозуміти, або зубрити, причому другий спосіб призводить до помилок у найневідповідніші і найвідповідальніші моменти: на іспитах, контрольних і т. д.

Саме тому всім своїм учням я пропоную відмовитися від стандартної шкільної формули та використати для вирішення логарифмічних рівнянь другий підхід, який, як ви вже напевно здогадалися з назви, називається канонічною формою.

Ідея канонічної форми проста. Давайте ще раз подивимося на наше завдання: ліворуч у нас є log a, при цьому під буквою a мається на увазі саме число, а в жодному разі не функція, що містить змінну х. Отже, на цю літеру поширюються всі обмеження, що накладаються на основу логарифму. а саме:

1 ≠ a > 0

З іншого боку, з того ж рівняння ми бачимо, що логарифм повинен дорівнювати числу b, і ось на цю літеру жодних обмежень не накладається, тому що він може набувати будь-яких значень — як позитивних, так і негативних. Все залежить від того, які значення набуває функція f(x).

І ось тут ми згадуємо наше чудове правило, що будь-яке число b може бути представлене у вигляді логарифму на підставі а від ступеня b :

b = log a a b

Як запам'ятати цю формулу? Так, дуже просто. Давайте запишемо таку конструкцію:

b = b · 1 = b · log a a

Вочевидь, що у своїй виникають усі обмеження, які ми записали спочатку. А тепер давайте скористаємося основною властивістю логарифму, і внесемо множник b як ступінь а. Отримаємо:

b = b · 1 = b · log a a = log a a b

У результаті вихідне рівняння перепишеться у такому вигляді:

log a f (x) = log a a b → f (x) = a b

От і все. Нова функціявже не містить логарифму і вирішується стандартними прийомами алгебри.

Звичайно, хтось зараз заперечить: а навіщо взагалі було вигадувати якусь канонічну формулу, навіщо виконувати два додаткові непотрібні кроки, якщо можна було одразу перейти від вихідної конструкції до підсумкової формули? Та вже хоча б тому, що більшість учнів не розуміють, звідки береться ця формула і, як наслідок, регулярно припускаються помилок при її застосуванні.

А ось така послідовність дій, що складається з трьох кроків, дозволяє вам вирішити вихідне логарифмічне рівняння, навіть якщо ви не розумієте, звідки береться та сама підсумкова формула. До речі, канонічною формулою називається саме цей запис:

log a f(x) = log a a b

Зручність канонічної форми полягає ще й у тому, що її можна застосовувати для вирішення дуже широкого класу логарифмічних рівнянь, а не лише найпростіших, які ми сьогодні розглядаємо.

Приклади рішення

А тепер давайте розглянемо реальні приклади. Отже, вирішуємо:

log 0,5 (3x − 1) = −3

Давайте перепишемо його так:

log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 0,5 −3

Багато учнів поспішають і намагаються одразу звести число 0,5 у ступінь, який прийшов до нас із вихідного завдання. І справді, коли ви вже добре натренуєтеся у вирішенні подібних завдань, ви можете одразу виконувати цей крок.

Однак якщо зараз ви тільки приступаєте до вивчення цієї теми, краще нікуди не поспішати, щоб не допускати образливих помилок. Отже, маємо канонічна форма. Маємо:

3x − 1 = 0,5 −3

Це вже не логарифмічне рівняння, а лінійне щодо змінної x. Щоб розв'язати його, давайте спочатку розберемося з числом 0,5 у ступені −3. Зауважимо, що 0,5 – це 1/2.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

всі десяткові дробиПереводьте у звичайні, коли ви вирішуєте логарифмічне рівняння.

Переписуємо та отримуємо:

3x − 1 = 8
3x = 9
x = 3

Все, ми отримали відповідь. Перше завдання вирішено.

Друге завдання

Переходимо до другого завдання:

Як бачимо, це рівняння вже не є найпростішим. Вже хоча б тому, що ліворуч стоїть різниця, а не один-єдиний логарифм з однієї основи.

Отже, потрібно якимось чином позбутися цієї різниці. У даному випадкувсе дуже просто. Давайте уважно подивимося на підстави: зліва стоїть число під коренем:

Загальна рекомендація: у всіх логарифмічних рівняннях намагайтеся позбавитися радикалів, тобто від записів з корінням і переходити до статечним функціямпросто тому що показники цих ступенів легко виносяться за знак логарифму і в кінцевому рахунку такий запис суттєво спрощує та прискорює обчислення. Ось давайте так і запишемо:

Тепер згадуємо чудову властивість логарифму: з аргументу, а також з основи можна виносити ступеня. У разі підстави відбувається таке:

log a k b = 1/k loga b

Інакше кажучи, число, яке стояло ступеня підстави, виноситься вперед і навіть перевертається, т. е. стає зворотним числом. У нашому випадку стояла ступінь основи з показником 1/2. Отже, ми можемо винести її як 2/1. Отримаємо:

5 · 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18

Зверніть увагу: у жодному разі не можна позбавлятися логарифмів на цьому кроці. Згадайте математику 4—5 класу та порядок дій: спочатку виконується множення, а лише потім — додавання та віднімання. В даному випадку ми з 10 елементів віднімаємо один такий:

9 log 5 x = 18
log 5 x = 2

Тепер наше рівняння виглядає як слід. Це найпростіша конструкція, і ми вирішуємо його за допомогою канонічної форми:

log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x = 25

От і все. Друге завдання вирішено.

Третій приклад

Переходимо до третього завдання:

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

Нагадаю таку формулу:

lg b = log 10 b

Якщо вас з якихось причин бентежить запис lg b, то при виконанні всіх обчислень ви можете записати просто log 10 b. З десятковими логарифмами можна працювати так само, як і з іншими: виносити ступеня, складати та подавати будь-які числа у вигляді lg 10.

Ось саме цими властивостями ми зараз і скористаємося для вирішення завдання, оскільки вона не є найпростішою, яку ми записали на початку нашого уроку.

Для початку зауважимо, що множник 2, що стоїть перед lg 5, може бути внесений і стане ступенем основи 5. Крім того, вільний доданок 3 також представимо у вигляді логарифму - це дуже легко спостерігати з нашого запису.

Судіть самі: будь-яке число можна подати у вигляді log на підставі 10:

3 = log 10 10 3 = lg 10 3

Перепишемо вихідне завдання з урахуванням отриманих змін:

lg (x − 3) = lg 1000 + lg 25
lg (x − 3) = lg 1000 · 25
lg (x − 3) = lg 25 000

Перед нами знову канонічна форма, причому ми отримали її, минаючи стадію перетворень, тобто найпростіше логарифмічне рівняння ми ніде не спливало.

Саме про це я й говорив на початку уроку. Канонічна форма дозволяє вирішувати ширший клас завдань, ніж стандартна шкільна формула, яку пропонують більшість шкільних вчителів.

Ну і все, позбавляємося знаку десяткового логарифму, і отримуємо просту лінійну конструкцію:

x + 3 = 25000
x = 24997

Всі! Завдання вирішено.

Зауваження щодо області визначення

Тут би хотілося навести важливе зауваження щодо області визначення. Напевно зараз знайдуться учні та вчителі, які скажуть: «Коли ми вирішуємо висловлювання з логарифмами, необхідно обов'язково пам'ятати, що аргумент f(x) має бути більшим за нуль!» У зв'язку з цим виникає логічне питання: чому в жодному з розглянутих завдань ми не вимагали, щоб ця нерівність виконувалася?

Не хвилюйтесь. Жодного зайвого коріння в цих випадках не виникне. І це ще одна чудова хитрість, що дозволяє прискорити рішення. Просто знайте, що якщо в задачі змінна х зустрічається лише в одному місці (а точніше - в одному-єдиному аргументі одного-єдиного логарифму), і більше ніде в нашому випадку немає змінної х, то записувати область визначення не потрібнотому, що вона буде виконуватися автоматично.

Судіть самі: у першому рівнянні ми отримали, що 3х - 1, тобто аргумент має дорівнювати 8. Це автоматично означає, що 3х - 1 буде більше нуля.

З тим самим успіхом ми можемо записати, що в другому випадку х повинен дорівнювати 5 2 , тобто він свідомо більше за нуль. А в третьому випадку, де х + 3 = 25 000, тобто знову ж таки свідомо більше нуля. Іншими словами, область визначення виконується автоматично, але лише за умови, що х зустрічається лише в аргументі лише одного логарифму.

Ось і все, що потрібно знати для вирішення найпростіших завдань. Вже одне це правило разом із правилами перетворення дозволить вам вирішувати дуже широкий клас завдань.

Але будьмо чесними: для того, щоб остаточно розібратися з цим прийомом, щоб навчитися застосовувати канонічну форму логарифмічного рівняння, недостатньо просто подивитися один відеоурок. Тому прямо зараз завантажте варіанти для самостійного рішення, які додаються до цього відеоуроку та почніть вирішувати хоча б одну з цих двох самостійних робіт.

Часу у вас піде буквально кілька хвилин. А ось ефект від такого навчання буде набагато вищим у порівнянні з тим, якби ви просто переглянули даний відеоурок.

Сподіваюся, цей урок допоможе вам розібратися з логарифмічними рівняннями. Застосовуйте канонічну форму, спрощуйте висловлювання за допомогою правил роботи з логарифмами — і жодні завдання вам не будуть страшні. А в мене сьогодні все.

Облік області визначення

Тепер поговоримо про область визначення логарифмічної функції, а також про те, як це впливає на розв'язання логарифмічних рівнянь. Розглянемо конструкцію виду

log a f(x) = b

Такий вираз називається найпростішим - у ньому лише одна функція, а числа а і b - це саме числа, а в жодному разі не функція, яка залежить від змінної х. Вирішується воно дуже просто. Достатньо лише використати формулу:

b = log a a b

Дана формула є однією з ключових властивостей логарифму, і при підстановці в наш вихідний вираз ми отримаємо наступне:

log a f(x) = log a a b

f(x) = a b

Це вже знайома формула зі шкільних підручників. У багатьох учнів напевно виникне питання: оскільки у вихідному вираженні функція f (x ) стоїть під знаком log, на неї накладаються такі обмеження:

f(х) > 0

Це обмеження діє оскільки логарифм від негативних чисел немає. То, можливо, внаслідок цього обмеження слід запровадити перевірку на відповіді? Можливо, їх треба підставляти у вихідник?

Ні, у найпростіших логарифмічних рівняннях додаткова перевірка зайва. І ось чому. Погляньте на нашу підсумкову формулу:

f(x) = a b

Справа в тому, що число а в будь-якому випадку більше 0 - ця вимога також накладається логарифмом. Число а є основою. При цьому кількість b ніяких обмежень не накладається. Але це й неважливо, тому що в який би ступінь ми не зводили б позитивне число, на виході ми все одно отримаємо позитивне число. Таким чином, вимога f(х) > 0 виконується автоматично.

Що дійсно варто перевіряти, то це область визначення функції, що стоїть під знаком log. Там можуть зустрічатися досить складні конструкції, і в процесі вирішення за ними обов'язково потрібно стежити. Давайте подивимося.

Перше завдання:

Перший крок: перетворимо дріб справа. Отримаємо:

Позбавляємося знаку логарифму та отримуємо звичайне ірраціональне рівняння:

З отриманого коріння нас влаштовує лише перший, тому що другий корінь меньше нуля. Єдиною відповіддю буде число 9. Все, завдання вирішено. Ніяких додаткових перевірок того, що вираз під знаком логарифму більше 0, не потрібно, тому що воно не просто більше 0, а за умовою рівняння воно дорівнює 2. Отже, вимога більше нуля виконується автоматично.

Переходимо до другого завдання:

Тут все те саме. Переписуємо конструкцію, замінюючи трійку:

Позбавляємося знаків логарифму та отримуємо ірраціональне рівняння:

Зводимо обидві частини в квадрат з урахуванням обмежень та отримуємо:

4 − 6x − x 2 = (x − 4) 2

4 − 6x − x 2 = x 2 + 8x + 16

x 2 + 8x + 16 −4 + 6x + x 2 = 0

2x 2 + 14x + 12 = 0 |:2

x 2 + 7x + 6 = 0

Вирішуємо отримане рівняння через дискримінант:

D = 49 − 24 = 25

x 1 = −1

x 2 = −6

Але x = −6 нас не влаштовує, тому що якщо ми підставимо це число до нашої нерівності, то отримаємо:

−6 + 4 = −2 < 0

У нашому випадку потрібно, щоб було більше, ніж 0 або в крайньому випадку рівно. А ось x = −1 нам підходить:

−1 + 4 = 3 > 0

Єдиною відповіддю у нашому випадку буде x = −1. Ось і все рішення. Давайте повернемося до самого початку наших обчислень.

Основний висновок із цього уроку: перевіряти обмеження для функції у найпростіших логарифмічних рівняннях не потрібно. Тому що в процесі вирішення всі обмеження виконуються автоматично.

Однак це в жодному разі не означає, що про перевірку можна взагалі забути. У процесі роботи над логарифмічним рівнянням цілком може перейти в ірраціональне, в якому будуть свої обмеження та вимоги до правої частини, в чому ми сьогодні переконалися на двох різних прикладах.

Сміливо вирішуйте такі завдання та будьте особливо уважні, якщо в аргументі стоїть корінь.

Логарифмічні рівняння з різними підставами

Продовжуємо вивчати логарифмічні рівняння та розберемо ще два досить цікаві прийоми, за допомогою яких модно вирішувати більше складні конструкції. Але для початку згадаємо, як вирішуються найпростіші завдання:

log a f(x) = b

У цьому записі а і b є саме числами, а функції f (x ) повинна бути змінна х, і тільки там, тобто х повинен знаходитися тільки в аргументі. Перетворювати такі логарифмічні рівняння ми за допомогою канонічної форми. Для цього зауважимо, що

b = log a a b

Причому a b це саме аргумент. Давайте перепишемо цей вислів так:

log a f(x) = log a a b

Ми саме цього і домагаємося, щоб і ліворуч, і праворуч стояв логарифм на підставі а. У цьому випадку ми можемо, образно кажучи, закреслити знаки log, а з точки зору математики ми можемо сказати, що ми прирівнюємо аргументи:

f(x) = a b

В результаті ми отримаємо новий вираз, який вирішуватиметься набагато простіше. Давайте застосуємо це правило до наших сьогоднішніх завдань.

Отже, перша конструкція:

Насамперед, зазначу, що справа стоїть дріб, у знаменнику якого знаходиться log. Коли ви бачите такий вираз, не зайвим буде згадати чудову властивість логарифмів:

Перекладаючи російською мовою, це означає, що будь-який логарифм може бути представлений у вигляді приватного двох логарифмів з будь-якою основою с. Зрозуміло, 0< с ≠ 1.

Так ось: у цієї формули є один чудовий окремий випадок, коли змінна дорівнює змінній b. У цьому випадку ми отримаємо конструкцію виду:

Саме таку конструкцію ми спостерігаємо від знаку праворуч у нашому рівнянні. Давайте замінимо цю конструкцію на log a b, отримаємо:

Іншими словами, у порівнянні з вихідним завданням, ми поміняли місцями аргумент та основу логарифму. Натомість нам довелося перевернути дріб.

Згадуємо, що будь-який ступінь можна виносити з основи за таким правилом:

Іншими словами, коефіцієнт k, який є ступенем основи, виноситься як перевернутий дріб. Давайте винесемо її як перевернутий дріб:

Дробний множник не можна залишати спереду, тому що в цьому випадку ми не зможемо представити цей запис як канонічну форму (адже в канонічній формі перед другим логарифмом додатковий множник не варто). Отже, давайте внесемо дріб 1/4 у аргумент у вигляді ступеня:

Тепер ми прирівнюємо аргументи, підстави яких однакові (а підстави у нас дійсно однакові), та записуємо:

x + 5 = 1

x = −4

От і все. Ми отримали відповідь до першого логарифмічного рівняння. Зверніть увагу: у вихідному завданні змінна х зустрічається лише в одному log, причому стоїть у його аргументі. Отже, перевіряти область визначення не потрібно, і наше число х = −4 є дійсно відповіддю.

Тепер переходимо до другого виразу:

lg 56 = lg 2 log 2 7 − 3lg (x + 4)

Тут крім звичайних логарифмів нам доведеться працювати з lg f (x ). Як розв'язувати таке рівняння? Непідготовленому учневі може здатися, що це якась бляха, але насправді все вирішується елементарно.

Уважно подивіться на доданок lg 2 log 2 7. Що ми можемо про нього сказати? Підстави та аргументи log і lg збігаються, і це має наводити на деякі думки. Давайте ще раз пригадаємо, як виносяться ступені з-під знака логарифму:

log a b n = nlog a b

Іншими словами, те, що було ступенем при числі b в аргументі, стає множником перед самим log. Давайте застосуємо цю формулу для вираження lg 2 log 2 7. Нехай вас не лякає lg 2 - це звичайнісінький вираз. Можна переписати його так:

Для нього справедливі всі правила, які діють будь-якого іншого логарифму. Зокрема, множник, що стоїть попереду, можна внести до міри аргументу. Давайте запишемо:

Дуже часто учні впритул не бачать цієї дії, тому що погано вносити один log під знак іншого. Насправді нічого кримінального у цьому немає. Більш того, ми отримуємо формулу, яка легко вважається, якщо пам'ятати важливе правило:

Цю формулу можна розглядати і як визначення, і як одну з його властивостей. У будь-якому випадку, якщо ви перетворюєте логарифмічне рівняння, цю формулу ви повинні знати так само, як і уявлення будь-якого числа у вигляді log.

Повертаємось до нашого завдання. Переписуємо його з урахуванням того факту, що перший доданок праворуч від знака рівності буде дорівнює просто lg 7. Маємо:

lg 56 = lg 7 − 3lg (x + 4)

Давайте перенесемо lg 7 вліво, отримаємо:

lg 56 − lg 7 = −3lg (x + 4)

Віднімаємо вирази зліва, тому що вони мають одну й ту саму основу:

lg (56/7) = −3lg (x + 4)

Тепер уважно подивимося на рівняння, яке ми отримали. Воно практично є канонічною формою, проте справа є множник −3. Давайте внесемо його до аргументу правого lg:

lg 8 = lg (x + 4) −3

Перед нами канонічна форма логарифмічного рівняння, тому викреслюємо знаки lg і прирівнюємо аргументи:

(x + 4) −3 = 8

x + 4 = 0,5

От і все! Ми вирішили друге логарифмічне рівняння. При цьому жодних додаткових перевірок не потрібно, тому що у вихідному завданні х був присутній лише в одному аргументі.

Перелічу ще раз ключові моменти цього уроку.

Головна формула, яка вивчається у всіх уроках на цій сторінці, присвяченій розв'язанню логарифмічних рівнянь, – це канонічна форма. І нехай вас не лякає те, що у більшості шкільних підручників вас вчать вирішувати подібні завдання по-іншому. Даний інструмент працює дуже ефективно і дозволяє вирішувати набагато ширший клас завдань, ніж найпростіші, які ми вивчали на початку нашого уроку.

Крім того, для вирішення логарифмічних рівнянь корисно знатиме основні властивості. А саме:

Формулу переходу до однієї основи та окремий випадок, коли ми перевертаємо log (це дуже знадобилося нам у першому завданні);
Формулу внесення та винесення ступенів з-під знака логарифму. Тут багато учнів зависають і впритул не бачать, що ступінь, що виноситься і вноситься, сам може містити log f (x ). Нічого страшного у цьому немає. Ми можемо вносити один log на знак іншого і при цьому суттєво спрощувати розв'язання задачі, що ми й спостерігаємо у другому випадку.

У висновку хотів би додати, що перевіряти область визначення у кожному з цих випадках не потрібно, тому що скрізь змінна х є тільки в одному знаку log, і при цьому знаходиться в його аргументі. Як наслідок, всі вимоги області визначення виконуються автоматично.

Завдання зі змінною основою

Сьогодні ми розглянемо логарифмічні рівняння, які для багатьох учнів здаються нестандартними, а то й зовсім нерозв'язними. Йдеться про висловлювання, на основі яких стоять не числа, а змінні і навіть функції. Вирішувати такі конструкції ми за допомогою нашого стандартного прийому, а саме через канонічну форму.

Для початку пригадаємо, як вирішуються найпростіші завдання, на основі яких стоять звичайні числа. Отже, найпростішою називається конструкція виду

log a f(x) = b

Для вирішення таких завдань ми можемо використати таку формулу:

b = log a a b

Переписуємо наш вихідний вираз і отримуємо:

log a f(x) = log a a b

Потім ми прирівнюємо аргументи, тобто записуємо:

f(x) = a b

Таким чином, ми позбавляємося знаку log і вирішуємо вже звичайне завдання. При цьому одержані при вирішенні корені і будуть корінням вихідного логарифмічного рівняння. Крім того, запис, коли і ліворуч, і праворуч стоїть по тому самому логарифму з однією і тією ж підставою, якраз і називається канонічною формою. Саме до такого запису ми намагатимемося звести сьогоднішні конструкції. Тож поїхали.

Перше завдання:

log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1

Замінюємо 1 на log x − 2 (x − 2) 1 . Той ступінь, який ми спостерігаємо в аргументу, це, насправді, то число b, яке стояло праворуч від знака рівності. Таким чином, перепишемо наш вираз. Отримаємо:

log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = log x − 2 (x − 2)

Що ми бачимо? Перед нами канонічна форма логарифмічного рівняння, тому ми можемо сміливо прирівняти аргументи. Отримаємо:

2x 2 − 13x + 18 = x − 2

Але на цьому рішення не закінчується, тому що дане рівняння не рівнозначне вихідному. Адже отримана конструкція складається з функцій, які визначені по всій числовій прямій, а наші вихідні логарифми визначені не скрізь і не завжди.

Тому ми маємо окремо записати область визначення. Давайте не мудруватимемо і для початку запишемо всі вимоги:

По-перше, аргумент кожного з логарифмів повинен бути більшим за 0:

2x 2 − 13x + 18 > 0

x − 2 > 0

По-друге, основа має бути не тільки більше 0, але і відмінно від 1:

x − 2 ≠ 1

У результаті отримаємо систему:

Але ви не лякайтеся: при обробці логарифмічних рівнянь таку систему можна значно спростити.

Судіть самі: з одного боку, від нас потрібно, щоб квадратична функція була більша за нуль, а з іншого боку — ця квадратична функція прирівнюється до якогось лінійного виразу, від якого також потрібно, щоб воно було більше за нуль.

У такому разі, якщо ми вимагаємо, щоб x − 2 > 0, то автоматично буде виконуватись і вимога 2x 2 − 13x + 18 > 0. Тому ми можемо сміливо закреслити нерівність, що містить квадратичну функцію. Таким чином, кількість виразів, що міститься у нашій системі, зменшиться до трьох.

Зрозуміло, з тим самим успіхом ми могли б закреслити і лінійна нерівність, Т. е. викреслити x − 2 > 0 і вимагати, щоб 2x 2 − 13x + 18 > 0. Але погодьтеся, що вирішити найпростішу лінійну нерівність набагато швидше і простіше, ніж квадратична, нехай навіть за умови, що в результаті рішення всієї цієї системи ми отримаємо те саме коріння.

Загалом, наскільки можна намагайтеся оптимізувати обчислення. І у випадку з логарифмічними рівняннями викреслюйте найскладніші нерівності.

Давайте перепишемо нашу систему:

Ось така система із трьох висловів, із двома з яких ми, по суті, вже розібралися. Давайте окремо випишемо квадратне рівнянняі вирішимо його:

2x 2 − 14x + 20 = 0

x 2 − 7x + 10 = 0

Перед нами наведений квадратний тричлені, отже, ми можемо скористатися формулами Вієта. Отримаємо:

(х - 5) (х - 2) = 0

x 1 = 5

x 2 = 2

А тепер повертаємося до нашої системи і виявляємо, що х = 2 нас не влаштовує, тому що від нас вимагається, щоб х був більшим, ніж 2.

А ось х = 5 нас цілком влаштовує: число 5 більше, ніж 2, і при цьому 5 не дорівнює 3. Отже, єдиним рішенням даної системи буде х = 5.

Все завдання вирішено, в т. ч. з урахуванням ОДЗ. Переходимо до другого рівняння. Тут на нас чекають більш цікаві та змістовні викладки:

Перший крок: як і минулого разу, наводимо всю цю справу до канонічної форми. Для цього число 9 ми можемо записати так:

Підставу з коренем можна не чіпати, а ось аргумент краще перетворити. Давайте перейдемо від кореня до ступеня з раціональним показником. Запишемо:

Давайте я не переписуватиму все наше велике логарифмічне рівняння, а просто відразу прирівняю аргументи:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

Перед нами знову наведений квадратний тричлен, скористаємося формулами Вієта і запишемо:

(х + 3) (х + 1) = 0

x 1 = −3

x 2 = −1

Отже, ми одержали коріння, але ніхто нам не гарантував, що вони підійдуть до початкового логарифмічного рівняння. Адже знаки log накладають додаткові обмеження (тут ми мали б записати систему, але через громіздкість всієї конструкції я вирішив порахувати область визначення окремо).

Насамперед згадуємо, що аргументи мають бути більше 0, а саме:

Це і є вимоги, що накладаються областю визначення.

Відразу зауважимо, що оскільки ми прирівнюємо перші два вирази системи один до одного, то будь-яке з них ми можемо викреслити. Давайте викреслимо першу, тому що вона виглядає більш загрозливо, ніж друга.

Крім того, зауважимо, що рішенням другої та третьої нерівності будуть одні й ті множини (куб якогось числа більше нуля, якщо саме це число більше нуля; аналогічно і з коренем третього ступеня — ці нерівності повністю аналогічні, тому одну з них ми можемо викреслити).

А ось із третьою нерівністю таке не пройде. Позбавимося знака радикала, що стоїть зліва, для чого зведемо обидві частини в куб. Отримаємо:

Отже, ми отримуємо такі вимоги:

− 2 ≠ x > −3

Яке з наших коренів: x 1 = −3 або x 2 = −1 відповідає цим вимогам? Очевидно, що тільки х = −1, тому що х = −3 не задовольняє першу нерівність (бо нерівність у нас сувора). Отже, повертаючись до нашого завдання, ми отримуємо один корінь: х = −1. Ось і все, завдання вирішено.

Ще раз ключові моменти цієї задачі:

Не соромтеся застосовувати та вирішувати логарифмічні рівняння за допомогою канонічної форми. Учні, які роблять такий запис, а не переходять безпосередньо від вихідного завдання до конструкції типу log a f (x) = b, допускають набагато менше помилок, ніж ті, що кудись поспішають, пропускаючи проміжні кроки обчислень;
Як тільки в логарифмі з'являється змінна основа, завдання перестає бути найпростішим. Отже, при його вирішенні необхідно враховувати область визначення: аргументи повинні бути більшими за нуль, а підстави — не тільки більше 0, але ще вони не повинні дорівнювати 1.

Накладати останні вимоги на підсумкові відповіді можна по-різному. Наприклад, можна вирішувати цілу систему, що містить усі вимоги до області визначення. З іншого боку, можна спочатку вирішити саме завдання, а потім згадати область визначення, окремо пропрацювати її у вигляді системи і накласти на отримані корені.

Який спосіб вибирати при вирішенні конкретного логарифмічного рівняння вирішувати тільки вам. У будь-якому випадку відповідь вийде та сама.

Ця сторінка розглядає способи рішення логарифмів, як ще одну функцію в багатому арсеналі, який має в своєму розпорядженні на нашому сайті. Калькулятор, який вважає логарифми онлайн, стане незамінним помічникомдля тих, кому потрібне просте рішення математичних виразів. У нашому калькуляторі будь-хто може легко та швидко порахувати логарифм, не знаючи логарифмічних формул, і навіть не уявляючи суть логарифму.

Буквально 20-30 років тому рішення логарифмів вимагало серйозних знань у математиці та як мінімум вміння користуватися таблицею логарифмів або логарифмічною лінійкою. Щоб привести до табличного виду вихідний вираз, часто доводилося здійснювати складні перетворення з огляду на властивості логарифмів та їх функцій.

Сьогодні ж достатньо мати доступ в інтернет, щоб легко обчислювати всілякі логарифмічні рівняння і нерівності будь-якої складності. Розміщений на нашому сайті може будь-який логарифм вирахувати за одну мить!

Рішення логарифму log y x зводиться до знаходження відповіді питанням, у який ступінь потрібно звести основу логарифму y, щоб вийшло значення дорівнює x. Онлайн калькулятор логарифмів допоможе розрахувати всі види логарифмів: двійкові, десяткові та натуральні логарифми, а також логарифм комплексного числа та логарифм негативного числата ін.

Обчислення логарифмів в online калькулятор записується як log і виконується за допомогою чотирьох кнопок: знаходження двійкового логарифму, рішення десяткових логарифмів, з довільною основою і обчислення натурального логарифму.

Деякі кнопки можуть використовуватися для запису однієї дії. Візьмемо, наприклад, розрахунок логарифмів із довільною основою. Зрозуміло, що, якщо вказати основу 10, то розрахується десятковий логарифм, а якщо 2, то двійковий. Враховуючи, що математичний вираз можна і вручну набрати, тоді той самий десятковий логарифм можна вважати трьома способами (точніше записати цю операцію в калькуляторі):

використовуючи кнопку log, тоді потрібно вказати лише число,
за допомогою кнопки log y x, через кому вказуються число та основа логарифму,
внести позначення логарифму вручну.

Детальну інформацію про те, як працювати з клавіатурою калькулятора, а також огляд всіх його можливостей, можна знайти на сторінках та .

Логарифм на підставі 2

У рядку введення відобразиться запис log 2 (x), відповідно, вам залишається внести число, без зазначення підстави, і зробити розрахунок. У прикладі знайдено відповідь, чому дорівнює логарифм 8 на підставі 2.

Логарифм на підставі 2: