Bibliograafiline kirjeldus: Maksimenko O. V., pastor V. S., Vorfolomejeva P. V., Mozikova K. A., Nikolaeva M. E., Shmeleva O. V. Kuldse lõigu kontseptsioonist // Noor teadlane. 2016. №6.1. S. 35-39..02.2019).



"Geomeetrial on kaks aaret:

üks nendest - Pythagorase teoreem,

teine ​​on segmendi jagamine keskmise ja äärmise suhtega "

Johannes Kepler

Märksõnad: kuldlõige, kuldsed proportsioonid, teaduslik fenomen.

Meie töö eesmärk on uurida "Kuldlõikega" seotud teabeallikaid erinevates teadmisvaldkondades, tuvastada mustreid ja leida seoseid teaduste vahel, selgitada välja Kuldlõike praktiline tähendus.

Selle uurimuse asjakohasuse määrab sajanditepikkune kuldlõike kasutamise ajalugu matemaatikas ja kunstis. See, mille üle iidsed hämmingus olid, jääb aktuaalseks ja äratab kaasaegsete huvi.

Inimesed on alati püüdnud leida mustreid ümbritsevast maailmast. Nad ümbritsesid end nende vaatenurgast "õige" kujuga objektidega. Alles matemaatika arenguga õnnestus inimestel mõõta "kuldsuhet", mida hiljem hakati nimetama "kuldseks suhteks".

kuldne suhe- harmooniline proportsioon

Kuldlõige on proportsionaalne jaotus segment ebavõrdseteks osadeks, milles kogu segment on seotud suurema osaga samamoodi nagu suurem osa ise on seotud väiksemaga; ehk teisisõnu, väiksem segment on seotud suuremaga, nagu suurem on kõigega (joonis 1).

a: b = b: c

Riis. 1. Segmendi jagamine kuldsete proportsioonide järgi

Tuletame teile meelde, mis on kuldlõige. Kuldse lõike kõige mahukam definitsioon ütleb, et väiksem osa on seotud suuremaga, kuna suurem on tervikuga. Selle ligikaudne väärtus on 1,6180339887. Ümardatud protsendina on terviku osade proportsioonid korrelatsioonis 62% kuni 38%. See suhe toimib ruumi ja aja vormides.

kuldne kolmnurk jaristkülik

Lisaks segmendi jagamisele ebavõrdseteks osadeks (kuldlõige) kaaluge kuldset kolmnurka ja kuldset ristkülikut.

Kuldne ristkülik on ristkülik, mille külgede pikkused on kuldses lõikes (joonis 2).

Viisnurkse tähe kumbki ots on kuldne kolmnurk. Selle küljed moodustavad ülaosas 36° nurga ja küljele asetatud alus jagab selle proportsionaalselt kuldse lõikega (joonis 3).

Joonis 2. kuldne ristkülik

Joon.3 Kuldne kolmnurk

Pentacle

Tavalises viieharulises tähes on iga segment jagatud seda kuldlõikes lõikuva lõiguga, st sinise ja rohelise, punase ja sinise, rohelise ja lilla suhe on 1,618 (joonis 4).

Joonis 4. pentagramm-hügieen

Pythagoras väitis, et pentagramm või, nagu ta seda nimetas, hügieia, on matemaatiline täiuslikkus, kuna see peidab endas kuldset lõiku. Sinise ja rohelise, punase ja sinise, rohelise ja lilla segmendi suhe on kuldne suhe.

Fibonacci seeria

Arvude jada 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 jne on tuntud kui Fibonacci seeria. Numbrijada eripära on see, et iga selle liige, alates kolmandast, on võrdne kahe eelmise summaga, ja seeria külgnevate arvude suhe läheneb kuldjaotuse suhtele.

Niisiis, 21:34 = 0,617

34: 55 = 0,618.

Kuldse lõike ajalugu

On üldtunnustatud, et kuldse jaotuse mõiste võttis teaduslikku kasutusse Vana-Kreeka filosoof ja matemaatik Pythagoras (VI sajand eKr). On oletatud, et Pythagoras laenas oma teadmised kuldsest jagunemisest egiptlastelt ja babüloonlastelt. Tõepoolest, Cheopsi püramiidi, templite, bareljeefide, majapidamistarvete ja Tutanhamoni hauakaunistuste proportsioonid näitavad, et Egiptuse käsitöölised kasutasid nende loomisel kuldse jaotuse suhteid.

kuldsed proportsioonid sisseinimkeha osad

1855. aastal avaldas Saksa kuldlõike uurija, professor Zeising oma teose "Aesthetic Research".

Zeising mõõtis umbes kaks tuhat inimkeha ja jõudis järeldusele, et kuldlõige väljendab keskmist statistilist seadust (joon. 5).

Joonis 5 Kuldsed proportsioonid inimkeha osades

kuldlõige sisseelusloodus

On hämmastav, kuidas paljudes inimteadmiste osades leidub vaid üks matemaatiline mõiste. Tundub, et see läbib kõike maailmas, ühendades harmoonia ja kaose, matemaatika ja kunsti.

Bioloogilised uuringud on näidanud, et alustades viirustest ja taimedest ning lõpetades inimkehaga, ilmneb kõikjal kuldne proportsioon, mis iseloomustab nende struktuuri proportsionaalsust ja harmooniat. Kuldlõiget peetakse elussüsteemide universaalseks seaduseks.

Sisalikul tabavad esmapilgul meie silmale meeldivad proportsioonid – tema saba pikkus on seotud ülejäänud keha pikkusega 62 kuni 38 (joonis 6).

Joon.6 Kuldsed proportsioonid sisaliku kehaosades

kuldlõige sissearhitektuur

"Kuldlõiget" käsitlevatest raamatutest võib leida märkuse, et arhitektuuris, nagu ka maalikunstis, oleneb kõik vaatleja positsioonist ja kui ühest küljest tundub, et mingid proportsioonid hoones moodustavad "kuldlõike", siis näevad nad teistest vaatenurkadest teistsugused välja. "Kuldne osa" annab teatud pikkuste suuruste kõige pingevabama suhte.

Vana-Kreeka arhitektuuri üks ilusamaid teoseid on Parthenon (joon. 7). Hoone kõrguse ja pikkuse suhe on 0,618. Kui jagame Parthenoni “kuldse lõigu” järgi, saame fassaadi teatud väljaulatuvad osad.

Teine näide iidsest arhitektuurist on Cheopsi püramiid (joonis 8).

Suure püramiidi proportsioonid hoitakse "kuldses suhtarvus"

Iidsetel ehitajatel õnnestus see majesteetlik monument ehitada peaaegu täiusliku insenertehnilise täpsuse ja sümmeetriaga.

Joonis 7. Parthenon

Joonis 8. Cheopsi püramiid

kuldlõige sisseskulptuur

"Kuldse lõike" proportsioonid loovad mulje ilu harmooniast, mistõttu skulptorid kasutasid neid oma töödes. Nii näiteks koosneb kuulus Apollo Belvedere kuju osadest, mis on jagatud kuldsete suhete järgi (joonis 9).

Joon.9 Apollo Belvedere kuju

kuldlõige sissemaalimine

Pöördudes maalikunsti "kuldlõike" näidete poole, ei saa jätta tähelepanuta Leonardo da Vinci loomingut. Vaatame lähemalt maali "La Gioconda". Portree kompositsioon on üles ehitatud kuldsetele kolmnurkadele (joon. 10).

Joonis 10 Leonardo da Vinci "Gioconda"

Teine näide maalikunsti kuldlõikest on Raphaeli maal Süütute veresaun (joon. 11). Raphaeli ettevalmistaval visandil tõmmatakse kompositsiooni semantilisest keskmest punased jooned. Kui ühendate need kõvera tükid loomulikult punktiirjoonega, saate väga suure täpsusega ... kuldse spiraali!

Joonis 11. Raphael "Süütute veresaun"

kuldlõige sissekirjandusteosed

Ajaliku kunsti vormid demonstreerivad meile omal moel kuldse jaotuse põhimõtet. Kuldlõike reegel kehtib ka vene klassiku üksikteostes. Niisiis, loos Poti emand» 853 rida ja haripunkt langeb reale 535 (853:535=1,6) – see on kuldse lõike punkt.

kuldlõige sisseFilm

Filmirežissöör Sergei Eisenstein kooskõlastas oma filmi "Lahingulaev Potjomkin" stsenaariumi teadlikult kuldlõike reegliga, jagades lindi viieks osaks.

Järeldus

Kuldlõiget tunti Vana-Egiptuses ja Babülonis, Indias ja Hiinas. Suur Pythagoras lõi salakooli, kus uuriti "kuldlõike" müstilist olemust. Euclid rakendas seda, luues oma geomeetria ja Phidias - oma surematud skulptuurid. Platon ütles, et universum on paigutatud "kuldse lõigu" järgi. Ja Aristoteles leidis "kuldlõike" vastavuse eetikaseadusele. "Kuldlõike" kõrgeimat harmooniat jutlustavad Leonardo da Vinci ja Michelangelo, sest ilu ja "kuldlõik" on üks ja seesama. Ja kristlikud müstikud joonistavad oma kloostrite seintele "kuldse lõigu" pentagramme, põgenedes kuradi eest. Samal ajal otsivad teadlased – Paciolist Einsteinini –, kuid ei leia kunagi selle täpset tähendust. Lõputu seeria pärast koma – 1,6180339887 ... Kummaline, salapärane, seletamatu asi: see jumalik proportsioon saadab müstiliselt kõike elavat. Elu loodus ei tea, mis on "kuldlõige". Kuid kindlasti näete seda osakaalu merekarpide kõverates ja lillede kujul ja mardikate kujul ja ilusas inimkehas. Kõik elav ja kõik ilus – kõik allub jumalikule seadusele, mille nimi on "kuldlõik". Mis on siis "kuldne suhe"? Mis on see täiuslik, jumalik kombinatsioon? Võib-olla on see ilu seadus? Või on see ikkagi müstiline saladus? Teadusnähtus või eetiline printsiip? Vastus on siiani teadmata. Täpsemalt – ei, see on teada. "Kuldlõige" on nii see, teine ​​kui ka kolmas. Ainult mitte eraldi, vaid samal ajal ... Ja see on tema tõeline mõistatus, tema suur saladus.

Kirjandus:

1. Vilenkin N. Ya., Zhokhov V. I. jt. Matemaatika - 6. - M .: Mnemosyne, 2015
2. Korbalan F. Kuldlõik. Ilu matemaatiline keel. (Matemaatika maailm T.1). - M.: DeAgostini, 2014
3. Ajastus G. E. Kuldlõige. - M.: Librokom, 2009

Märksõnad: kuldlõige, kuldsed proportsioonid, teaduslik fenomen.

Märkus: Kuldlõige on struktuurse harmoonia universaalne ilming. Seda leidub looduses, teaduses, kunstis – kõiges, millega inimene kokku puutub. Artikli autorid uurivad kirjandust, leiavad seoseid kuldlõikega seotud teaduste vahel, paljastavad kuldsete proportsioonide praktilise tähenduse.

Kuldne suhe – harmooniline proportsioon

Matemaatikas on proportsioon (ladina proportio) kahe suhte võrdsus: a: b = c: d.

Joonesegmendi AB saab jagada kaheks osaks järgmiselt:
kaheks võrdseks osaks - AB: AC = AB: BC;
kaheks ebavõrdseks osaks mis tahes vahekorras (sellised osad ei moodusta proportsioone);
seega, kui AB: AC = AC: BC.

Viimane on segmendi kuldne jaotus või jaotus äärmise ja keskmise vahekorras.

Kuldlõige on lõigu selline proportsionaalne jagamine ebavõrdseteks osadeks, mille puhul kogu segment on seotud suurema osaga samamoodi, nagu suurem osa ise on seotud väiksemaga; ehk teisisõnu, väiksem segment on seotud suuremaga, nagu suurem on kõigega

a: b = b: c või c: b = b: a.

Praktiline tutvumine kuldlõikega algab sirgjoonelise lõigu jagamisest kuldlõikes sirkli ja joonlaua abil.

Punktist B taastatakse risti, mis on võrdne poolega AB. Saadud punkt C ühendatakse sirgega punktiga A. Saadud sirgele kantakse lõik BC, mis lõpeb punktiga D. Lõik AD kantakse üle sirgele AB. Saadud punkt E jagab lõigu AB kuldlõike suhtega.

Kuldse lõike lõigud väljendatakse lõpmatu irratsionaalse murdena AE \u003d 0,618 ..., kui AB võetakse ühikuna, siis BE \u003d 0,382 ... Praktilistel eesmärkidel ligikaudsed väärtused 0,62 ja 0,38 kasutatakse sageli. Kui segmenti AB võtta 100 osana, siis suurem osa lõigust on 62 ja väiksem 38 osa.

Kuldse lõike omadusi kirjeldab võrrand:

x2 - x - 1 = 0.

Selle võrrandi lahendus:

Kuldse lõigu omadused tekitasid selle numbri ümber romantilise salapära ja peaaegu müstilise kummardamise.

Teine kuldlõige

Bulgaaria ajakiri "Isamaa" (nr 10, 1983) avaldas Tsvetan Tsekov-Karandashi artikli "Teisest kuldlõikest", mis tuleneb põhiosast ja annab teistsuguse suhte 44:56.

Jagamine toimub järgmiselt. Lõik AB jagatakse proportsionaalselt kuldse lõiguga. Punktist C taastatakse risti asetsev CD. Raadius AB on punkt D, mis on joonega ühendatud punktiga A. Täisnurk ACD poolitatakse. Punktist C tõmmatakse sirge ristmikuni joon AD. Punkt E jagab lõigu AD suhtega 56:44.

Joonisel on näidatud teise kuldse lõigu joone asukoht. See asub keskel kuldse lõike joone ja keskmine joon ristkülik.

Kuldne kolmnurk

Kasvavate ja kahanevate ridade kuldse suhte segmentide leidmiseks võite kasutada pentagrammi.

Pentagrammi ehitamiseks peate ehitama tavalise viisnurga. Selle ehitusmeetodi töötas välja saksa maalikunstnik ja graafik Albrecht Dürer (1471...1528). Olgu O ringi keskpunkt, A ringjoone punkt ja E lõigu OA keskpunkt. Raadiusega OA risti, mis on tõstetud punktis O, lõikub ringiga punktis D. Märkige kompassi abil läbimõõdule lõik CE = ED. Regulaarse viisnurga ringi sisse kirjutatud külje pikkus on DC. Jätame ringil kõrvale lõigud DC ja saame viis punkti tavalise viisnurga joonistamise eest. Ühendame viisnurga nurgad läbi ühe diagonaali ja saame pentagrammi. Kõik viisnurga diagonaalid jagavad üksteist kuldlõikega ühendatud segmentideks.

Viisnurkse tähe kumbki ots on kuldne kolmnurk. Selle küljed moodustavad ülaosas 36° nurga ja küljele asetatud alus jagab selle proportsionaalselt kuldse lõikega.

Tõmba sirge AB. Punktist A paneme sellele kolm korda maha suvalise suurusega lõigu O, läbi saadud punkti P tõmbame risti joonega AB, punktist P paremale ja vasakule jäävale lõigud O. punktid d ja d1 on ühendatud sirgjoontega punktiga A. Panime lõigu dd1 sirgele Ad1, saades punkti C. Ta jagas sirge Ad1 võrdeliselt kuldlõikega. Joone Ad1 ja dd1 kasutatakse "kuldse" ristküliku ehitamiseks.

Kuldse lõike ajalugu

On üldtunnustatud seisukoht, et kuldse jagunemise mõiste võeti teaduslikku kasutusse Pythagoras, Vana-Kreeka filosoof ja matemaatik (VI sajand eKr). On oletatud, et Pythagoras laenas oma teadmised kuldsest jagunemisest egiptlastelt ja babüloonlastelt. Tõepoolest, Cheopsi püramiidi, templite, bareljeefide, majapidamistarvete ja Tutanhamoni hauakaunistuste proportsioonid näitavad, et Egiptuse käsitöölised kasutasid nende loomisel kuldse jaotuse suhteid. Prantsuse arhitekt Le Corbusier leidis, et Abydose vaarao Seti I templi reljeefil ja vaarao Ramsest kujutaval reljeefil vastavad kujundite proportsioonid kuldse jaotuse väärtustele. Arhitekt Khesira, keda on kujutatud tema nimelise hauakambri puittahvli reljeefil, hoiab käes mõõteriistad, milles on fikseeritud kuldse jaotuse proportsioonid.

Kreeklased olid osavad geomeetrid. Isegi aritmeetikat õpetati nende lastele geomeetriliste kujundite abil. Pythagorase ruut ja selle ruudu diagonaal olid aluseks dünaamiliste ristkülikute ehitamisel.

Platon(427...347 eKr) teadis ka kuldsest jagunemisest. Tema dialoog" Timaius» on pühendatud Pythagorase koolkonna matemaatilistele ja esteetilistele vaadetele ning eelkõige kuldse jaotuse probleemidele.

Vana-Kreeka Parthenoni templi fassaadil on kuldsed proportsioonid. Selle väljakaevamiste käigus leiti kompassid, mida kasutasid iidse maailma arhitektid ja skulptorid. Pompeiuse kompass (Napoli muuseum) sisaldab ka kuldse jaotuse proportsioone.

Meieni jõudnud iidses kirjanduses mainitakse kuldset jaotust esmakordselt " Algused» Euclid. "Alguste" 2. raamatus on antud geomeetriline konstruktsioon kuldne jagunemine Pärast Eukleidest uurisid kuldset jagunemist Hypsicles (2. sajand eKr), Pappus (3. sajand pKr) jt. Tõlget kommenteeris tõlkija J. Campano Navarrast (3. saj.). Kuldse diviisi saladusi valvati kadedalt, hoiti ranges saladuses. Neid teadsid vaid initsiatiivid.

Renessansiajal kasvas teadlaste ja kunstnike seas huvi kuldse lõhe vastu, kuna seda kasutatakse nii geomeetrias kui ka kunstis, eriti arhitektuuris. Leonardo da Vinci, kunstnik ja teadlane, nägi, et Itaalia kunstnikel oli palju empiirilisi kogemusi, kuid vähe teadmisi. Ta jäi lapseootele ja hakkas kirjutama raamatut geomeetriast, kuid sel ajal ilmus mungaraamat Luca Pacioli, ja Leonardo loobus oma ideest. Kaasaegsete ja teadusajaloolaste arvates oli Luca Pacioli tõeline valgustaja, Itaalia suurim matemaatik Fibonacci ja Galileo vahel. Luca Pacioli oli kunstniku Piero della Francesca õpilane, kes kirjutas kaks raamatut, millest üks kandis nime "Perspective in Painting". Teda peetakse kirjeldava geomeetria loojaks.

Luca Pacioli oli hästi teadlik teaduse tähtsusest kunsti jaoks. 1496. aastal tuli ta Moreau hertsogi kutsel Milanosse, kus pidas loenguid matemaatikast. Leonardo da Vinci töötas sel ajal ka Milanos Moro õukonnas. 1509. aastal ilmus Veneetsias Luca Pacioli teos "Jumalik osakaal" koos suurepäraselt teostatud illustratsioonidega, mistõttu arvatakse, et need on teinud Leonardo da Vinci. Raamat oli entusiastlik hümn kuldsele lõikele. Kuldlõike paljude eeliste hulgas ei jätnud munk Luca Pacioli nimetamata selle "jumalikku olemust" Jumal-Poja, Jumala Isa ja Jumala Püha Vaimu jumaliku kolmainsuse väljendusena (arusaadavalt segment on Jumal-Poja kehastus, suurem segment on Jumal-Isa kehastus ja kogu segment - püha vaimu jumal).

Leonardo da Vinci pööras palju tähelepanu ka kuldse divisjoni uurimisele. Ta tegi stereomeetrilisest kehast lõigud, mille moodustasid korrapärased viisnurgad, ja iga kord sai ristkülikuid, mille kuvasuhted olid kuldses jaotuses. Seetõttu andis ta sellele jaotusele kuldlõike nime. Nii et see on endiselt kõige populaarsem.

Samal ajal tegeles ta Põhja-Euroopas Saksamaal samade probleemidega Albrecht Dürer. Ta visandab sissejuhatuse proportsioone käsitleva traktaadi esimesele mustandile. Durer kirjutab. “On vaja, et see, kes midagi teab, õpetaks seda teistele, kes seda vajavad. Seda ma kavatsesin teha."

Otsustades ühe Düreri kirja järgi, kohtus ta Itaalias viibimise ajal Luca Pacioliga. Albrecht Dürer arendab üksikasjalikult inimkeha proportsioonide teooriat. Dürer määras oma suhtarvude süsteemis olulise koha kuldlõikele. Inimese pikkus jaguneb kuldsetes proportsioonides vööjoonega, samuti joonega, mis on tõmmatud läbi langetatud käte keskmiste sõrmede otste, näo alaosa - suu jne. Tuntud proportsionaalne kompass Dürer.

16. sajandi suur astronoom Johannes Kepler nimetas kuldlõiget üheks geomeetria aardeks. Ta on esimene, kes juhib tähelepanu kuldlõike olulisusele botaanika (taimede kasvu ja struktuuri) jaoks.

Kepler nimetas kuldset lõiku iseenesest jätkuvaks. "See on korraldatud nii," kirjutas ta, "et selle lõpmatu proportsiooni kaks nooremat liiget annavad kokku kolmanda liikme ja mis tahes kaks viimast liiget, kui need kokku liita, annavad järgmine tähtaeg ja sama proportsioon jääb lõpmatuseni."

Kuldse lõike segmentide jada konstrueerimine võib toimuda nii suurenemise (kasvavad jada) kui ka languse (kahanevad) suunas.

Kui suvalise pikkusega sirgel jätame kõrvale lõigu m, siis järgmiseks jätame kõrvale lõigu M. Nende kahe lõigu põhjal koostame tõusvate ja kahanevate ridade kuldse proportsiooni segmentide skaala.

Järgnevatel sajanditel muutus kuldlõike reegel akadeemiliseks kaanoniks ja kui aja jooksul algas kunstis võitlus akadeemilise rutiiniga, siis võitluse tuisus "viskasid nad lapse veega välja". Kuldlõige “avastati” uuesti 19. sajandi keskel. 1855. aastal saksa kuldlõike uurija, professor Zeising avaldas oma teose Esteetilised uuringud. Zeisingi puhul pidi juhtuma täpselt see, mis juhtus ka uurijaga, kes peab nähtust selliseks, ilma seoseta teiste nähtustega. Ta absolutiseeris kuldlõike osakaalu, kuulutades selle universaalseks kõigi loodus- ja kunstinähtuste jaoks. Zeisingul oli arvukalt järgijaid, kuid leidus ka vastaseid, kes kuulutasid tema proportsioonide õpetust "matemaatiliseks esteetikaks".

Zeising tegi suurepärast tööd. Ta mõõtis umbes kaks tuhat inimkeha ja jõudis järeldusele, et kuldlõige väljendab keskmist statistilist seadust. Keha jagunemine nabapunkti järgi on kuldlõike kõige olulisem näitaja. Mehe keha proportsioonid kõiguvad keskmise suhte 13:8 = 1,625 piires ja on mõnevõrra lähemal kuldsele lõikele kui naise keha proportsioonid, mille suhtes proportsiooni keskmist väärtust väljendatakse suhtega 8: 5 = 1,6. Vastsündinul on see suhe 1: 1, 13-aastaselt on see 1,6 ja 21-aastaselt on see võrdne mehega. Kuldse lõike proportsioonid avalduvad ka teiste kehaosade suhtes - õla, küünarvarre ja käe, käe ja sõrmede jne pikkus.

Zeising testis oma teooria paikapidavust Kreeka kujude peal. Ta töötas välja Apollo Belvedere proportsioonid kõige üksikasjalikumalt. Uuriti Kreeka vaase, arhitektuursed struktuurid erinevad ajastud, taimed, loomad, linnumunad, muusikalised toonid, poeetilised meetrid. Zeising määratles kuldlõike, näitas, kuidas see väljendub joonelõikudes ja numbrites. Kui lõikude pikkusi väljendavad figuurid saadi, nägi Zeising, et need moodustavad Fibonacci seeria, mida saab lõputult jätkata ühes ja teises suunas. Tema järgmine raamat kandis pealkirja "Kuldjaotus kui põhiline morfoloogiline seadus looduses ja kunstis". 1876. aastal ilmus Venemaal väike raamat, peaaegu brošüür, mis kirjeldas Zeisingi loomingut. Autor varjus initsiaalide Yu.F.V. Selles väljaandes pole mainitud ühtegi maali.

IN XIX lõpus- XX sajandi algus. ilmus palju puhtformalistlikke teooriaid kuldlõike kasutamise kohta kunsti- ja arhitektuuriteostes. Disaini ja tehnilise esteetika arenedes laienes kuldse lõike seadus autode, mööbli jms disainile.

Fibonacci seeria

Pisast pärit itaalia matemaatiku munga Leonardo, rohkem tuntud kui Fibonacci (Bonacci poeg), nimi on kaudselt seotud kuldlõike ajalooga. Ta reisis palju idas, tutvustas Euroopale India (araabia) numbreid. 1202. aastal ilmus tema matemaatiline teos Abakuse raamat (Loenduslaud), kuhu olid kogutud kõik tol ajal tuntud ülesanded. Üks ülesannetest oli kirjas "Mitu paari küülikuid ühest paarist sünnib ühe aasta jooksul." Selle teema üle mõtiskledes koostas Fibonacci järgmise numbrite jada:

Numbrite jada 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 jne. tuntud kui Fibonacci seeria. Arvujada eripära on see, et iga selle liige, alates kolmandast, on võrdne kahe eelneva summaga 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 \u003d 34 jne ning seeria külgnevate arvude suhe läheneb kuldse jaotuse suhtele. Niisiis, 21:34 = 0,617 ja 34:55 = 0,618. Seda suhet tähistatakse sümboliga Ф. Ainult see suhe - 0,618: 0,382 - annab sirgjoonelise lõigu pideva jaotuse kuldlõikes, suurendades või vähendades seda lõpmatuseni, kui väiksem segment on seotud suuremaga nagu suurem on kõigele.

Fibonacci käsitles ka kaubanduse praktilisi vajadusi: milline on väikseim raskuste arv, millega saab kaupa kaaluda? Fibonacci tõestab, et optimaalne on järgmine kaalude süsteem: 1, 2, 4, 8, 16...

Üldistatud kuldne suhe

Fibonacci seeria oleks võinud jääda vaid matemaatiliseks vahejuhtumiks, kui poleks olnud tõsiasja, et kõik taime- ja loomamaailma kuldse jaotuse uurijad, rääkimata kunstist, jõudsid alati sellesse seeriasse kui kuldjaotuse seaduse aritmeetilise väljenduse juurde.

Teadlased jätkasid Fibonacci arvude ja kuldse lõike teooria aktiivset arendamist. Yu Matiyasevitš lahendab Fibonacci arvude abil Hilberti 10. ülesande. Mitmete küberneetiliste probleemide (otsingu teooria, mängud, programmeerimine) lahendamiseks on olemas elegantsed meetodid, kasutades Fibonacci numbreid ja kuldset lõiku. USA-s luuakse isegi Mathematical Fibonacci Association, mis annab välja spetsiaalset ajakirja alates 1963. aastast.

Üks selle valdkonna saavutusi on üldistatud Fibonacci arvude ja üldistatud kuldsete suhete avastamine.

Tema avastatud Fibonacci seeria (1, 1, 2, 3, 5, 8) ja "binaarne" kaalude seeria 1, 2, 4, 8, 16... on esmapilgul täiesti erinevad. Kuid nende ehitamise algoritmid on üksteisega väga sarnased: esimesel juhul on iga arv eelmise arvu summa iseendaga 2 = 1 + 1; 4 \u003d 2 + 2 ..., teises - see on kahe eelmise numbri summa 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2 .... Kas see on võimalik et leida üldine matemaatiline valem, millest " binaarrida ja Fibonacci seeria? Või äkki annab see valem meile uued numbrilised komplektid, millel on mõned uued ainulaadsed omadused?

Tõepoolest, paneme paika numbrilise parameetri S, mis võib võtta mis tahes väärtused: 0, 1, 2, 3, 4, 5... eraldatuna eelmisest S sammu võrra. Kui n-s liige tähistame seda jada φS (n), siis saame üldvalemi φS (n) = φS (n – 1) + φS (n – S – 1).

Ilmselgelt, kui S = 0, saame sellest valemist "binaarrea", S = 1 - Fibonacci jada, mille S = 2, 3, 4. Uued arvude jadad, mida nimetatakse S-Fibonacci numbriteks.

IN üldine vaade kuldne S-proportsioon on kuldse S-lõike võrrandi xS+1 – xS – 1 = 0 positiivne juur.

Lihtne on näidata, et S = 0 korral saadakse lõigu jagamine pooleks ja S = 1 korral tuttav klassikaline kuldlõige.

Absoluutse matemaatilise täpsusega naaber Fibonacci S-arvude suhted langevad piirväärtuses kokku kuldsete S-proportsioonidega! Matemaatikud ütlevad sellistel juhtudel, et kuldsed S-lõiked on Fibonacci S-arvude arvulised invariandid.

Faktid, mis kinnitavad kuldsete S-lõigete olemasolu looduses, on esitanud Valgevene teadlane E.M. Soroko raamatus "Süsteemide struktuurne harmoonia" (Minsk, "Teadus ja tehnoloogia", 1984). Näiteks selgub, et hästi uuritud kahekomponentsetel sulamitel on erilised, selgelt väljendunud funktsionaalsed omadused (termiliselt stabiilsed, kõvad, kulumiskindlad, oksüdatsioonikindlad jne) ainult siis, kui erikaal originaalkomponendid on omavahel seotud ühe kuldse S-proportsiooniga. See võimaldas autoril püstitada hüpoteesi, et kuldsed S-lõiked on iseorganiseeruvate süsteemide arvulised invariandid. Eksperimentaalselt kinnitatuna võib see hüpotees olla sünergeetika, uue teadusvaldkonna, mis uurib iseorganiseeruvates süsteemides toimuvaid protsesse, arendamiseks.

Kuldsete S-proportsioonide koode kasutades saab mis tahes reaalarvu väljendada kuldsete S-proportsioonide astmete summana täisarvu koefitsientidega.

Põhiline erinevus selle arvude kodeerimismeetodi vahel on see, et uute koodide alused, mis on kuldsed S-proportsioonid, osutuvad irratsionaalseteks arvudeks, kui S > 0. Seega panid uued irratsionaalsete alustega arvusüsteemid ratsionaalsete ja irratsionaalsete arvude vaheliste suhete ajalooliselt väljakujunenud hierarhia justkui tagurpidi. Fakt on see, et algul "avastati" naturaalarvud; siis nende suhted on ratsionaalarvud. Ja alles hiljem - pärast seda, kui Pythagoreanid avastasid võrreldamatud segmendid - ilmusid irratsionaalsed arvud. Näiteks kümnend-, kvinaar-, kahend- ja muudes klassikalistes positsioonilistes arvusüsteemides valiti omamoodi alusprintsiibiks naturaalarvud - 10, 5, 2, millest teatud reeglite kohaselt on kõik muud loomulikud ja ka ratsionaalsed. ja konstrueeriti irratsionaalsed arvud.

Omamoodi alternatiiv senistele nummerdamismeetoditele on alusprintsiibina uus irratsionaalne süsteem, mille algus on valitud irratsionaalarvuks (mis, meenutame, on kuldlõike võrrandi juur); teised reaalarvud on juba selle kaudu väljendatud.

Sellises arvusüsteemis on iga naturaalarv alati esitatav lõpliku arvuna – ja mitte lõpmatuna, nagu varem arvati! on mis tahes kuldsete S-proportsioonide võimsuste summad. See on üks põhjusi, miks "irratsionaalne" aritmeetika oma hämmastava matemaatilise lihtsuse ja elegantsiga näib olevat imendunud parimad omadused klassikaline binaar ja "Fibonacci" aritmeetika.

Looduses kujundamise põhimõtted

Kõik, mis mingi vormi võttis, kujunes, kasvas, püüdis ruumis koha sisse võtta ja ennast säilitada. See püüdlus leiab täitumise peamiselt kahes variandis – ülespoole kasvades või üle maapinna levides ja spiraalselt keerdudes.

Kest on keerdunud spiraalselt. Selle lahti voltimisel saate mao pikkusest veidi väiksema pikkuse. Väikesel kümnesentimeetrisel kestal on 35 cm pikkune spiraal.Spiraalid on looduses väga levinud. Kuldse lõike kontseptsioon jääb puudulikuks, kui mitte öelda spiraali kohta.

Spiraalselt kõverdunud kesta kuju äratas Archimedese tähelepanu. Ta uuris seda ja tuletas spiraali võrrandi. Selle võrrandi järgi tõmmatud spiraali kutsutakse tema nime järgi. Tema sammu kasv on alati ühtlane. Praegu kasutatakse Archimedese spiraali laialdaselt inseneritöös.

Isegi Goethe rõhutas looduse kalduvust spiraalsusele. Lehtede spiraalset ja spiraalset paigutust puuokstel märgati juba ammu. Spiraali oli näha päevalilleseemnete paigutuses, männikäbides, ananassides, kaktustes jne. Koostöö botaanikud ja matemaatikud valgustavad neid hämmastavaid loodusnähtusi. Selgus, et lehtede paigutuses oksal (fülotaksis), päevalilleseemnetes, männikäbides avaldub Fibonacci seeria ja seetõttu avaldub kuldlõike seadus. Ämblik keerutab oma võrku spiraalselt. Orkaan keerleb spiraalselt. Hirmunud põhjapõdrakari hajub spiraalina laiali. DNA molekul on keerdunud topeltheeliksiks. Goethe nimetas spiraali "elu kõveraks".

Teeäärsete ürtide hulgas kasvab tähelepanuta taim – sigur. Vaatame seda lähemalt. Peavarrest moodustati oks. Siin on esimene leht.

Protsess teeb tugeva väljapaiskumise kosmosesse, peatub, laseb lahti lehe, aga juba lühema kui esimene, teeb jälle väljapaisku kosmosesse, kuid väiksema jõuga, laseb välja veel väiksema suurusega lehe ja paiskub uuesti välja. Kui esimeseks kõrvalekaldeks võtta 100 ühikut, siis teine ​​võrdub 62 ühikuga, kolmas on 38, neljas 24 jne. Ka kroonlehtede pikkus sõltub kuldsest lõikest. Kasvu, ruumi vallutamise ajal säilitas taim teatud proportsioonid. Selle kasvuimpulsid vähenesid järk-järgult võrdeliselt kuldlõikega.

Riis. 13. Sigur

Riis. 14. Elav sisalik

Sisalikus tabavad esmapilgul meie silmale meeldivad proportsioonid - tema saba pikkus on seotud ülejäänud keha pikkusega 62 kuni 38.

Nii taime- kui ka loomamaailmas murrab visalt läbi looduse kujundamise tendents - sümmeetria kasvu- ja liikumissuuna suhtes. Siin ilmneb kuldne suhe kasvusuunaga risti olevate osade proportsioonides.

Loodus on jaotanud sümmeetrilisteks osadeks ja kuldseteks proportsioonideks. Osades avaldub terviku struktuuri kordus.

Riis. 15. Linnumuna

Suur Goethe, luuletaja, loodusteadlane ja kunstnik (ta joonistas ja maalis akvarelliga), unistas ühtse õpetuse loomisest orgaaniliste kehade vormist, kujunemisest ja muundumisest. Just tema tõi teaduslikku kasutusse mõiste morfoloogia.

Pierre Curie sõnastas meie sajandi alguses mitmeid sügavaid sümmeetriaideid. Ta väitis, et ühegi keha sümmeetriat ei saa arvestada ilma keskkonna sümmeetriat arvestamata.

"Kuldse" sümmeetria mustrid avalduvad elementaarosakeste energiaüleminekutes, mõnede keemiliste ühendite struktuuris, planeedi- ja kosmosesüsteemides, elusorganismide geenistruktuurides. Need mustrid, nagu eespool märgitud, on üksikute inimorganite ja keha kui terviku struktuuris ning avalduvad ka biorütmides ja aju toimimises ja visuaalses tajumises.
Kuldne suhe ja sümmeetria

Kuldlõiget ei saa käsitleda iseenesest, eraldi, ilma seoseta sümmeetriaga. Suur vene kristallograaf G.V. Wulff (1863...1925) pidas kuldlõiget üheks sümmeetria ilminguks.

Kuldjaotus ei ole asümmeetria ilming, midagi vastupidist sümmeetriale.Kaasaegsete kontseptsioonide kohaselt on kuldjaotus asümmeetriline sümmeetria. Sümmeetriateadus hõlmab selliseid mõisteid nagu staatiline ja dünaamiline sümmeetria. Staatiline sümmeetria iseloomustab puhkust, tasakaalu ja dünaamiline sümmeetria liikumist, kasvu. Nii et looduses esindab staatilist sümmeetriat kristallide struktuur ja kunstis iseloomustab see rahu, tasakaalu ja liikumatust. Dünaamiline sümmeetria väljendab aktiivsust, iseloomustab liikumist, arengut, rütmi, on elu tunnistus. Staatilist sümmeetriat iseloomustavad võrdsed segmendid, võrdsed suurused. Dünaamilist sümmeetriat iseloomustab segmentide suurenemine või nende vähenemine ja seda väljendatakse kasvava või kahaneva seeria kuldse lõigu väärtustes.

Öeldakse, et "jumalik osa" on looduses ja paljudes asjades meie ümber. Leiate seda lilledest, tarudest, merekarpidest ja isegi meie kehadest.

Seda jumalikku proportsiooni, mida tuntakse ka kui kuldlõiget, jumalikku suhet või kuldset suhet, saab rakendada mitmesuguste kunstide ja õppimise jaoks. Teadlased väidavad, et mida lähemal on objekt kuldsele lõikele, seda paremini inimaju seda tajub.

Alates selle suhte avastamisest on paljud kunstnikud ja arhitektid seda oma töös kasutanud. Kuldse suhte leiate mitmest renessansi meistriteosest, arhitektuurist, maalimisest ja muust. Tulemuseks on ilus ja esteetiliselt nauditav meistriteos.

Vähesed teavad, mis on meie silmale nii meeldiva kuldlõike saladus. Paljud usuvad, et asjaolu, et see ilmub kõikjal ja on "universaalne" proportsioon, paneb meid aktsepteerima seda kui midagi loogilist, harmoonilist ja orgaanilist. Teisisõnu, see lihtsalt "tunneb", mida me vajame.

Mis on siis kuldne suhe?

Kuldne suhe, kreeka keeles tuntud ka kui "phi", on matemaatiline konstant. Seda saab väljendada kujul a/b=a+b/a=1,618033987, kus a on suurem kui b. Seda saab seletada ka Fibonacci jadaga, teise jumaliku proportsiooniga. Fibonacci jada algab 1-st (mõnede sõnul 0) ja lisab sellele eelmise numbri, et saada järgmine arv (st 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21...)

Kui proovite leida kahe järgmise Fibonacci arvu jagatist (st 8/5 või 5/3), on tulemus väga lähedane kuldsele suhtele 1,6 või φ (phi).

Kuldne spiraal luuakse kuldse ristküliku abil. Kui teil on ristkülik vastavalt ruutudest 1, 1, 2, 3, 5 ja 8, nagu on näidatud ülaltoodud pildil, võite alustada kuldse ristküliku ehitamist. Kasutades raadiuse ruudu külge, loote kaare, mis puudutab ruudu punkte diagonaalselt. Korrake seda protseduuri iga kuldse kolmnurga ruuduga ja tulemuseks on kuldne spiraal.

Kus seda looduses näha saab

Kuldse lõike ja Fibonacci järjestuse võib leida õie kroonlehtedest. Enamikul lilledel väheneb kroonlehtede arv kahele, kolmele, viiele või enamale, mis on nagu kuldne suhe. Näiteks liiliatel on 3 kroonlehte, võikullil 5, siguriõitel 21 ja karikakratel 34. Tõenäoliselt järgivad kuldlõiget ka lilleseemned. Näiteks päevalilleseemned idanevad keskelt ja kasvavad väljapoole, täites seemnepea. Tavaliselt on need spiraalsed ja meenutavad kuldset spiraali. Veelgi enam, seemnete arv kipub vähenema Fibonacci numbriteni.

Käed ja sõrmed on ka näide kuldsest lõikest. Vaata lähemalt! Peopesa põhi ja sõrmeots on jagatud osadeks (luudeks). Ühe osa ja teise osa suhe on alati 1,618! Isegi küünarvarred koos kätega on samas vahekorras. Ja sõrmed ja nägu, ja nimekiri jätkub ...

Rakendus kunstis ja arhitektuuris

Kreekas asuv Parthenon on väidetavalt ehitatud kuldseid proportsioone kasutades. Arvatakse, et kõrguse, laiuse, sammaste, sammaste vahekauguse ja isegi portiku suuruse mõõtmete suhted on kuldse lõigu lähedased. See on võimalik, sest hoone näeb proportsionaalselt täiuslik välja ja nii on see olnud iidsetest aegadest peale.

Leonardo Da Vinci oli ka kuldse lõike (ja tegelikult palju muid uudishimulikke esemeid!) fänn. Mona Lisa imekaunis ilu võib olla tingitud sellest, et tema nägu ja keha esindavad kuldset lõiku, nagu päris inimnäod elus. Lisaks on Leonardo Da Vinci "Püha õhtusöömaaja" numbrid paigutatud kuldses joones kasutatavas järjekorras. Kui joonistate lõuendile kuldsed ristkülikud, on Jeesus otse kesksagaras.

Rakendus logo kujundamisel

Pole üllatav, et paljudes võib leida ka kuldlõike kasutamist kaasaegsed projektid eelkõige disain. Praegu keskendume sellele, kuidas seda logo kujundamisel kasutada. Kõigepealt heidame pilgu maailma kuulsaimatele kaubamärkidele, mis on oma logode täiustamiseks kasutanud kuldset lõiku.

Ilmselt kasutas Apple Fibonacci numbritest ringe, ühendades ja lõigates kujundeid Apple'i logo saamiseks. Pole teada, kas seda tehti tahtlikult või mitte. Tulemuseks on aga täiuslik ja visuaalselt esteetiline logokujundus.

Toyota logo kasutab a ja b suhet, et moodustada kolm rõngast moodustav ruudustik. Pange tähele, kuidas see logo kasutab kuldse lõike loomiseks ringide asemel ristkülikuid.

Pepsi logo loovad kaks ristuvat ringi, millest üks on suurem kui teine. Nagu ülaloleval pildil näha, on suurem ring proportsionaalne väiksemaga – arvasite ära! Nende uusim reljeefta logo on lihtne, efektne ja ilus!

Arvatakse, et peale Toyota ja Apple'i on kuldlõiget kasutanud ka mitmete teiste ettevõtete, nagu BP, iCloud, Twitter ja Grupo Boticario, logod. Ja me kõik teame, kui kuulsad need logod on – kõik sellepärast, et pilt hüppab kohe mällu!

Siin on, kuidas saate seda oma projektides rakendada

Visandage kuldne ristkülik, nagu ülal näidatud. kollane. Seda on võimalik saavutada, kui konstrueerida kuldlõikesse kuuluvatest numbritest kõrguse ja laiusega ruudud. Alustage ühest plokist ja asetage teine ​​selle kõrvale. Ja teine ​​ruut, mille pindala on võrdne nende kahega, asetage nende kohale. Saate automaatselt 3 ploki külje. Pärast selle kolmest plokist koosneva konstruktsiooni ehitamist saate lõpuks 5-st neljast koosneva külje, mida saab kasutada teise (5-plokilise ala) kasti valmistamiseks. See võib kesta nii kaua kui soovite, kuni leiate vajaliku suuruse!

Ristkülik võib liikuda igas suunas. Valige väikesed ristkülikud ja kasutage neid logo kujundusruudustikuna kasutatava paigutuse koostamiseks.

Kui logo on ümaram, vajate kuldse ristküliku ringikujulist versiooni. Seda saate saavutada, joonistades Fibonacci numbritega võrdelised ringid. Looge kuldne ristkülik, kasutades ainult ringe (see tähendab, et suurima ringi läbimõõt on 8, väiksema ringi läbimõõt on 5 ja nii edasi). Nüüd eraldage need ringid ja asetage need nii, et saaksite kujundada oma logo põhikontuuri. Siin on näide Twitteri logost:

Märge: Kõiki kuldlõike ringe või ristkülikuid ei pea joonistama. Sama suurust saate kasutada ka mitu korda.

Kuidas seda tekstikujunduses rakendada

See on lihtsam kui logo kujundamine. Lihtne reegel kuldlõike rakendamisel tekstis on see, et järgnev suurem või väiksem tekst peab vastama Phi-le. Vaatame seda näidet:

Kui mu fondi suurus on 11, siis tuleks alapealkiri kirjutada suurema kirjaga. Ma korrutan teksti fondi kuldse suhtega, et saada rohkem(11*1,6=17). Seega tuleks alapealkiri kirjutada 17 tähesuuruses. Ja nüüd pealkiri või pealkiri. Korrutan alapealkirja proportsiooniga ja saan 27 (1 * 1,6 = 27). Nagu nii! Teie tekst on nüüd võrdeline kuldlõikega.

Kuidas seda veebidisainis rakendada

Ja siin on see veidi keerulisem. Kuldsele lõikele võib truuks jääda ka veebidisainis. Kui olete kogenud veebidisainer, olete juba arvanud, kus ja kuidas seda saab rakendada. Jah, me saame kuldset lõiku hästi ära kasutada ja rakendada seda oma veebilehtede ruudustikele ja kasutajaliidese paigutustele.

Võtke ruudustiku pikslite koguarv laiuseks või kõrguseks ja kasutage seda kuldse ristküliku loomiseks. Väiksemate arvude saamiseks jagage suurim laius või pikkus. See võib olla teie põhisisu laius või kõrgus. Alles võib olla külgriba (või alumine riba, kui rakendasite selle kõrgusele). Nüüd jätkake kuldse ristküliku kasutamist selle edasiseks rakendamiseks akendele, nuppudele, paneelidele, piltidele ja tekstile. Samuti saate luua kuldse ristküliku väikeste versioonide põhjal tervikliku võrgu nii horisontaalselt kui ka vertikaalselt, et luua väiksemaid kasutajaliidese objekte, mis on võrdelised kuldse ristkülikuga. Proportsioonide leidmiseks saate kasutada seda kalkulaatorit.

Spiraal

Kuldse spiraali abil saate ka määrata, kuhu oma saidil sisu paigutada. Kui teie avaleht on täis graafilist sisu, näiteks veebipoe veebisaiti või fotograafiablogi, saate kasutada kuldspiraali meetodit, mida paljud kunstnikud oma töös kasutavad. Idee on asetada kõige väärtuslikum sisu spiraali keskmesse.

Grupeeritud sisu saab paigutada ka kuldse ristküliku abil. See tähendab, et mida lähemale spiraal keskväljakutele liigub (üks ruudukujuline plokk), seda "tihe" sisu on.

Seda tehnikat saate kasutada päise, piltide, menüüde, tööriistariba, otsingukasti ja muude elementide asukoha märkimiseks. Twitter pole kuulus mitte ainult selle poolest, et kasutab logo kujundamisel kuldset ristkülikut, vaid see on kaasatud ka veebikujundusse. Kuidas? Kuldse ristküliku ehk teisisõnu kuldse spiraali kontseptsiooni kasutamise kaudu kasutaja profiililehel.

Kuid seda pole lihtne teha CMS-platvormidel, kus veebidisaineri asemel määrab küljenduse sisu autor. Kuldne lõige sobib WordPressi ja muude ajaveebikujundustega. See on ilmselt sellepärast kõrvalpaneel on peaaegu alati blogi kujunduses olemas, mis sobib hästi kuldse ristkülikuga.

Lihtsam viis

Väga sageli jätavad disainerid keerulise matemaatika vahele ja rakendavad nn kolmandiku reeglit. Seda saab saavutada, jagades ala kolmeks võrdseks osaks horisontaalselt ja vertikaalselt. Tulemuseks on üheksa võrdsetes osades. Ristumisjoont saab kasutada kuju ja kujunduse fookuspunktina. Saate paigutada võtmeteema või põhielemendid ühele või kõigile fookuspunktidele. Fotograafid kasutavad seda kontseptsiooni ka plakatite puhul.

Mida lähemal on ristkülikud suhtele 1:1,6, seda meeldivamalt tajub pilti inimaju (kuna see on lähemal kuldsele lõikele).

Juba iidsetest aegadest on inimesi muretsenud küsimus, kas sellised raskesti mõistetavad asjad nagu ilu ja harmoonia alluvad mingitele matemaatilistele arvutustele. Muidugi ei saa kõiki iluseadusi mõnesse valemisse mahutada, kuid matemaatikat õppides võime avastada mõned iluterminid – kuldlõike. Meie ülesandeks on välja selgitada, mis on kuldlõige ja teha kindlaks, kus inimkond on leidnud selle kasutamise.

Tõenäoliselt pöörasite tähelepanu sellele, et me käsitleme ümbritseva reaalsuse objekte ja nähtusi erinevalt. Ole h korralikkus, ole hühetaolisust, ebaproportsionaalsust tajume inetuna ja jätavad tõrjuva mulje. Ja objekte ja nähtusi, mida iseloomustavad mõõt, otstarbekus ja harmoonia, tajutakse kaunitena ja tekitavad meis imetlust, rõõmu, tuju.

Inimene kohtab oma tegevuses pidevalt objekte, mis põhinevad kuldlõikel. On asju, mida ei saa seletada. Nii et sa tuled tühja pingi juurde ja istud sellele. Kuhu sa istud? keskel? Või äkki päris äärest? Ei, suure tõenäosusega mitte üht ega teist. Istud nii, et pingi ühe osa ja teise osa suhe keha suhtes on ligikaudu 1,62. Lihtne asi, täiesti instinktiivne... Pingile istudes reprodutseerisite "kuldlõiget".

Kuldlõiget tunti Vana-Egiptuses ja Babülonis, Indias ja Hiinas. Suur Pythagoras lõi salakooli, kus uuriti "kuldlõike" müstilist olemust. Euclid rakendas seda, luues oma geomeetria ja Phidias - oma surematud skulptuurid. Platon ütles, et universum on paigutatud "kuldse lõigu" järgi. Aristoteles leidis "kuldlõike" vastavuse eetikaseadusele. "Kuldlõike" kõrgeimat harmooniat jutlustavad Leonardo da Vinci ja Michelangelo, sest ilu ja "kuldlõik" on üks ja seesama. Ja kristlikud müstikud joonistavad oma kloostrite seintele "kuldse lõigu" pentagramme, põgenedes kuradi eest. Samal ajal otsivad teadlased – Paciolist Einsteinini –, kuid ei leia kunagi selle täpset tähendust. Ole h viimane rida pärast koma on 1,6180339887... Kummaline, salapärane, seletamatu asi - see jumalik proportsioon saadab müstiliselt kõike elavat. Elu loodus ei tea, mis on "kuldlõige". Kuid kindlasti näete seda osakaalu merekarpide kõverates ja lillede kujul ja mardikate kujul ja ilusas inimkehas. Kõik elav ja kõik ilus – kõik järgib jumalikku seadust, mille nimi on "kuldlõik". Mis on siis "kuldne suhe"? Mis on see täiuslik, jumalik kombinatsioon? Võib-olla on see ilu seadus? Või on see ikkagi müstiline saladus? Teadusnähtus või eetiline printsiip? Vastus on siiani teadmata. Täpsemalt – ei, see on teada. "Kuldlõige" on nii see, teine ​​kui ka kolmas. Ainult mitte eraldi, vaid samal ajal ... Ja see on tema tõeline mõistatus, tema suur saladus.

Ilmselt on raske leida usaldusväärset mõõdikut ilu enda objektiivseks hindamiseks ja loogika üksi siin ei aita. Siin on aga abiks nende kogemus, kelle jaoks iluotsing oli elu mõte, kes sellest oma elukutse tegid. Esiteks on need kunstiinimesed, nagu me neid kutsume: kunstnikud, arhitektid, skulptorid, muusikud, kirjanikud. Kuid need on täppisteaduste inimesed, ennekõike matemaatikud.

Usaldades silma rohkem kui teisi meeleorganeid, õppis inimene ennekõike eristama teda ümbritsevaid objekte kuju järgi. Huvi eseme vormi vastu võib tingida eluline vajadus või selle võib põhjustada vormi ilu. Sümmeetria ja kuldse lõike kombinatsioonil põhinev vorm aitab kaasa parimale visuaalsele tajule ning ilu- ja harmooniatunde ilmnemisele. Tervik koosneb alati osadest, erineva suurusega osad on omavahel ja tervikuga teatud suhtes. Kuldlõike põhimõte on terviku ja selle osade struktuurse ja funktsionaalse täiuslikkuse kõrgeim väljendus kunstis, teaduses, tehnoloogias ja looduses.

KULDLÕIK – HARMOONILINE PROPORTSIOON

Matemaatikas on proportsioon kahe suhte võrdsus:

Joonesegmendi AB saab jagada kaheks osaks järgmiselt:

• kaheks võrdseks osaks - AB: AC = AB: BC;
• kaheks ebavõrdseks osaks mis tahes vahekorras (sellised osad ei moodusta proportsioone);
• seega, kui AB:AC=AC:BC.

Viimane on kuldne jaotus (lõik).

Kuldlõige on lõigu selline proportsionaalne jagamine ebavõrdseteks osadeks, kus kogu lõik on seotud suurema osaga samamoodi nagu suurem osa ise on seotud väiksemaga ehk teisisõnu väiksem segment on seotud suurema osaga. seotud suuremaga nagu suurem on kõigega

a:b=b:c või c:b=b:a.

Kuldse lõike geomeetriline esitus

Praktiline tutvumine kuldlõikega algab sirgjoonelise lõigu jagamisest kuldlõikes sirkli ja joonlaua abil.

Joonelõigu jagamine kuldlõike järgi. BC=1/2AB; CD = BC

Punktist B taastatakse risti, mis on võrdne poolega AB. Saadud punkt C ühendatakse sirgega punktiga A. Saadud sirgele kantakse lõik BC, mis lõpeb punktiga D. Lõik AD kantakse üle sirgele AB. Saadud punkt E jagab lõigu AB kuldlõike suhtega.

Kuldse lõike lõigud on väljendatud ilma h lõppfraktsioon AE=0,618..., kui AB võtta ühikuna, siis BE=0,382... Praktilistel eesmärkidel kasutatakse sageli ligikaudseid väärtusi 0,62 ja 0,38. Kui võtta lõiguks AB 100 osa, siis on lõigu suurim osa 62 ja väiksem 38 osa.

Kuldse lõike omadusi kirjeldab võrrand:

Selle võrrandi lahendus:

Kuldse lõike omadused lõid selle numbri ümber romantilise salapära ja peaaegu müstilise põlvkonna. Näiteks tavalises viieharulises tähes jagatakse iga segment seda ristuva lõiguga võrdeliselt kuldse lõikega (st sinise ja rohelise, punase ja sinise, rohelise ja lilla segmendi suhe on 1,618).

TEINE KULDLÕIK

Seda osakaalu leidub arhitektuuris.

Teise kuldse lõigu ehitamine

Jagamine toimub järgmiselt. Lõik AB jagatakse proportsionaalselt kuldse lõiguga. Punktist C taastatakse risti asetsev CD. Raadius AB on punkt D, mis on joonega ühendatud punktiga A. Täisnurk ACD poolitatakse. Punktist C tõmmatakse sirge ristmikuni joon AD. Punkt E jagab lõigu AD suhtega 56:44.

Ristküliku jagamine teise kuldlõike joonega

Joonisel on näidatud teise kuldse lõigu joone asukoht. See asub keskel kuldse lõikejoone ja ristküliku keskjoone vahel.

KULDNE KOLMNURK (pentagramm)

Kasvavate ja kahanevate ridade kuldse suhte segmentide leidmiseks võite kasutada pentagrammi.

Korrapärase viisnurga ja pentagrammi ehitus

Pentagrammi ehitamiseks peate ehitama tavalise viisnurga. Selle ehitusmeetodi töötas välja saksa maalikunstnik ja graafik Albrecht Dürer. Olgu O ringi keskpunkt, A ringjoone punkt ja E lõigu OA keskpunkt. Raadiusega OA risti, mis on tõstetud punktis O, lõikub ringiga punktis D. Märkige kompassi abil läbimõõdule lõik CE=ED. Regulaarse viisnurga ringi sisse kirjutatud külje pikkus on DC. Jätame ringil kõrvale lõigud DC ja saame viis punkti tavalise viisnurga joonistamise eest. Ühendame viisnurga nurgad läbi ühe diagonaali ja saame pentagrammi. Kõik viisnurga diagonaalid jagavad üksteist kuldlõikega ühendatud segmentideks.

Viisnurkse tähe kumbki ots on kuldne kolmnurk. Selle küljed moodustavad ülaosas 36° nurga ja küljele asetatud alus jagab selle proportsionaalselt kuldse lõikega.

Tõmba sirge AB. Punktist A paneme sellele kolm korda maha suvalise suurusega lõigu O, läbi saadud punkti P tõmbame risti joonega AB, punktist P paremale ja vasakule jäävale lõigud O. punktid d ja d 1 on ühendatud sirgjoontega punktiga A. Segmendi dd 1 paneme selle sirgele Ad 1, saades punkti C. Ta jagas sirge Ad 1 proportsionaalselt kuldlõikega. Joone Ad 1 ja dd 1 kasutatakse "kuldse" ristküliku ehitamiseks.

Kuldse kolmnurga ehitus

KULDLÕIGI AJALUGU

Tõepoolest, Cheopsi püramiidi proportsioonid, templid, majapidamistarbed ja Tutanhamoni hauakaunistused näitavad, et Egiptuse käsitöölised kasutasid nende loomisel kuldse jaotuse suhteid. Prantsuse arhitekt Le Corbusier leidis, et Abydosel asuva vaarao Seti I templi reljeefil ja vaarao Ramsest kujutaval reljeefil vastavad figuuride proportsioonid kuldse jaotuse väärtustele. Arhitekt Khesira, kes on kujutatud omanimelise haua puittahvli reljeefil, hoiab käes mõõteriistu, milles on fikseeritud kuldse jaotuse proportsioonid.

Kreeklased olid osavad geomeetrid. Isegi aritmeetikat õpetati nende lastele geomeetriliste kujundite abil. Pythagorase ruut ja selle ruudu diagonaal olid aluseks dünaamiliste ristkülikute ehitamisel.

Dünaamilised ristkülikud

Platon teadis ka kuldsest jagunemisest. Pythagorase Timaius ütleb Platoni samanimelises dialoogis: „Kaks asja on võimatu täiuslikult ühendatud ilma kolmandata, sest nende vahele peab ilmuma asi, mis neid koos hoiaks. Seda saab kõige paremini saavutada proportsioon, sest kui kolmel arvul on omadus, et keskmine on seotud väiksemaga, kuna suurem on keskmisega, ja vastupidi, väiksem on keskmisega, kuna keskmine on suuremaga, siis viimane ja esimene on keskmine ja keskmine - esimene ja viimane. Seega on kõik vajalik sama ja kuna see on sama, moodustab see terviku. Platon ehitab maise maailma, kasutades kahte tüüpi kolmnurki: võrdhaarseid ja mittevõrdhaarseid. Kõige ilusamaks täisnurkseks kolmnurgaks peab ta seda, mille hüpotenuus on jalgadest kaks korda väiksem (selline ristkülik on pool võrdkülgne, babüloonlaste põhikuju, selle suhe on 1:3 1/2 , mis erineb kuldsest lõikest umbes 1/25 võrra ja mida nimetatakse Timerdamiseks "kuldse lõike rivaaliks"). Kolmnurkade abil ehitab Platon neli korrapärast hulktahukat, seostades need nelja maise elemendiga (maa, vesi, õhk ja tuli). Ja ainult viimane viiest olemasolevast korrapärasest hulktahukast – dodekaeedr, mille kõik kaksteist tahku on korrapärased viisnurgad, väidab end olevat taevase maailma sümboolne kujutis.

ikosaeeder ja dodekaeeder

Dodekaeedri (või, nagu arvati, universumi enda, selle nelja elemendi kvintessentsi, mida sümboliseerivad vastavalt tetraeedr, oktaeedr, ikosaeedr ja kuup) avastamise au kuulub Hippasusele, kes hukkus hiljem laevaõnnetuses. See kujund kajastab tõesti paljusid kuldse lõigu suhteid, nii et viimasele määrati taevases maailmas peamine roll, mida hiljem nõudis alaealine vend Luca Pacioli.

Vana-Kreeka Parthenoni templi fassaadil on kuldsed proportsioonid. Selle väljakaevamiste käigus leiti kompassid, mida kasutasid iidse maailma arhitektid ja skulptorid. Pompeiuse kompass (Napoli muuseum) sisaldab ka kuldse jaotuse proportsioone.

Antiiksed kuldse lõikega kompassid

Meieni jõudnud iidses kirjanduses mainiti kuldset jaotust esmakordselt Eukleidese "Elementides". "Alguste" 2. raamatus on toodud kuldse jaotuse geomeetriline konstruktsioon. Kuldjaotust uurisid pärast Eukleidest Hypsicles (2. saj. eKr), Pappus (3. saj. pKr) jt, kes keskaegses Euroopas tutvusid kuldjaotusega Eukleidese "Alguste" araabiakeelsetest tõlgetest. Tõlget kommenteeris tõlkija J. Campano Navarrast (3. saj.). Kuldse diviisi saladusi valvati kadedalt, hoiti ranges saladuses. Neid teadsid vaid initsiatiivid.

Keskajal pentagrammi demoniseeriti (nagu paljuski, mida antiikpaganluses peeti jumalikuks) ja see leidis varjupaiga okultistlikes teadustes. Renessanss toob aga taas päevavalgele nii pentagrammi kui ka kuldlõike. Nii saavutas inimkeha ehitust kirjeldav skeem humanismi kehtestamise perioodil laialdase leviku.

Leonardo da Vinci kasutas korduvalt ka sellist pilti, reprodutseerides tegelikult pentagrammi. Selle tõlgendus: inimkehal on jumalik täiuslikkus, kuna sellele omased proportsioonid on samad, mis peamisel taevakujul. Kunstnik ja teadlane Leonardo da Vinci nägi, et Itaalia kunstnikel oli palju empiirilisi kogemusi, kuid vähe teadmisi. Ta sündis ja hakkas kirjutama raamatut geomeetriast, kuid sel ajal ilmus munk Luca Pacioli raamat ja Leonardo loobus oma ideest. Kaasaegsete ja teadusajaloolaste arvates oli Luca Pacioli tõeline valgustaja, Itaalia suurim matemaatik Fibonacci ja Galileo vahel. Luca Pacioli oli kunstniku Piero della Francesca õpilane, kes kirjutas kaks raamatut, millest üks kandis nime "Perspective in Painting". Teda peetakse kirjeldava geomeetria loojaks.

Luca Pacioli oli hästi teadlik teaduse tähtsusest kunsti jaoks.

1496. aastal tuli ta hertsog Moreau kutsel Milanosse, kus pidas loenguid matemaatikast. Leonardo da Vinci töötas sel ajal ka Milanos Moro õukonnas. 1509. aastal ilmus Veneetsias suurepäraselt teostatud illustratsioonidega Luca Pacioli 1509. aastal Veneetsias ilmunud De divina ratione, 1497, mistõttu arvatakse, et need on teinud Leonardo da Vinci. Raamat oli entusiastlik hümn kuldsele lõikele. Sellist osakaalu on ainult üks ja ainulaadsus on Jumala kõrgeim omadus. See kehastab püha kolmainsust. Seda osakaalu ei saa väljendada ligipääsetava arvuga, see jääb varjatuks ja salajaseks ning matemaatikud ise nimetavad seda irratsionaalseks (seega ei saa Jumalat sõnadega määratleda ega seletada). Jumal ei muutu kunagi ja esindab kõike kõiges ja kõike oma igas osas, seega on iga pideva ja kindla suuruse (olenemata sellest, kas see on suur või väike) kuldlõige sama, seda ei saa muuta ega muuta. meelt. Jumal kutsus olema taevase vooruse, mida muidu nimetatakse viiendaks substantsiks, tema abiga neli muud lihtkeha (neli elementi - maa, vesi, õhk, tuli) ja nende alusel kutsus olema kõik muu looduses; nii et meie püha proportsioon annab Platoni Timeuse järgi vormilise olemise taevale endale, sest see omistatakse keha kujule, mida nimetatakse dodekaeedriks ja mida ei saa ehitada ilma kuldlõiketa. Need on Pacioli argumendid.

Leonardo da Vinci pööras palju tähelepanu ka kuldse divisjoni uurimisele. Ta tegi stereomeetrilisest kehast lõigud, mille moodustasid korrapärased viisnurgad, ja iga kord sai ristkülikuid, mille kuvasuhted olid kuldses jaotuses. Seetõttu andis ta sellele jaotusele kuldlõike nime. Nii et see on endiselt kõige populaarsem.

Samal ajal tegeles Põhja-Euroopas Saksamaal Albrecht Dürer samade probleemidega. Ta visandab sissejuhatuse proportsioone käsitleva traktaadi esimesele mustandile. Dürer kirjutab: „On vaja, et see, kes midagi teab, õpetaks seda teistele, kes seda vajavad. Seda ma kavatsesin teha."

Otsustades ühe Düreri kirja järgi, kohtus ta Itaalias viibimise ajal Luca Pacioliga. Albrecht Dürer arendab üksikasjalikult inimkeha proportsioonide teooriat. Dürer määras oma suhtarvude süsteemis olulise koha kuldlõikele. Inimese pikkus jaguneb kuldsetes proportsioonides vööjoonega, samuti joonega, mis on tõmmatud läbi langetatud käte keskmiste sõrmede otste, näo alaosa - suu jne. Tuntud proportsionaalne kompass Dürer.

16. sajandi suur astronoom Johannes Kepler nimetas kuldlõiget üheks geomeetria aardeks. Ta on esimene, kes juhib tähelepanu kuldlõike olulisusele botaanika (taimede kasvu ja struktuuri) jaoks.

Kepler nimetas kuldset lõiku iseenesest jätkuvaks. "See on korraldatud nii," kirjutas ta, "et selle lõpmatu proportsiooni kaks nooremat liiget annavad kokku kolmanda liikme ja mis tahes kaks viimast liiget, kui need kokku liita, annavad järgmine tähtaeg ja sama proportsioon jääb lõpmatuseni."

Kuldse lõike segmentide jada konstrueerimine võib toimuda nii suurenemise (kasvavad jada) kui ka languse (kahanevad) suunas.

Kui see on suvalise pikkusega sirgel, lükake segment edasi m , pane segment kõrvale M . Nende kahe segmendi põhjal koostame tõusvate ja kahanevate ridade kuldse proportsiooni segmentide skaala.

Kuldse lõike segmentide skaala koostamine

Järgnevatel sajanditel muutus kuldlõike reegel akadeemiliseks kaanoniks ja kui aja jooksul algas kunstis võitlus akadeemilise rutiiniga, siis võitluse tuisus "viskasid nad lapse veega välja". Kuldlõige “avastati” uuesti 19. sajandi keskel.

1855. aastal avaldas Saksa kuldlõike uurija, professor Zeising oma teose "Aesthetic Research". Zeisingi puhul pidi juhtuma täpselt see, mis juhtus ka uurijaga, kes peab nähtust selliseks, ilma seoseta teiste nähtustega. Ta absolutiseeris kuldlõike osakaalu, kuulutades selle universaalseks kõigi loodus- ja kunstinähtuste jaoks. Zeisingul oli arvukalt järgijaid, kuid leidus ka vastaseid, kes kuulutasid tema proportsioonide õpetust "matemaatiliseks esteetikaks".

Zeising tegi suurepärast tööd. Ta mõõtis umbes kaks tuhat inimkeha ja jõudis järeldusele, et kuldlõige väljendab keskmist statistilist seadust. Keha jagunemine nabapunkti järgi on kuldlõike kõige olulisem näitaja. Mehe keha proportsioonid kõiguvad keskmise suhte 13:8=1,625 piires ja on mõnevõrra lähemal kuldsele lõikele kui naise keha proportsioonid, mille suhtes proportsiooni keskmine väärtus väljendub suhtega 8:5 =1,6. Vastsündinul on see suhe 1: 1, 13-aastaselt on see 1,6 ja 21-aastaselt on see võrdne mehega. Kuldse lõike proportsioonid avalduvad ka teiste kehaosade suhtes - õla, küünarvarre ja käe, käe ja sõrmede jne pikkus.

Zeising testis oma teooria paikapidavust Kreeka kujude peal. Ta töötas välja Apollo Belvedere proportsioonid kõige üksikasjalikumalt. Uuriti Kreeka vaase, erinevate ajastute arhitektuurilisi struktuure, taimi, loomi, linnumune, muusikalisi toone, poeetilisi meetreid. Zeising määratles kuldlõike, näitas, kuidas see väljendub joonelõikudes ja numbrites. Kui lõikude pikkusi väljendavad figuurid saadi, nägi Zeising, et need moodustavad Fibonacci seeria, mida saab lõputult jätkata ühes ja teises suunas. Tema järgmine raamat kandis pealkirja "Kuldjaotus kui põhiline morfoloogiline seadus looduses ja kunstis". 1876. aastal ilmus Venemaal väike raamat, peaaegu brošüür, mis kirjeldas Zeisingi loomingut. Autor varjus initsiaalide Yu.F.V. Selles väljaandes pole mainitud ühtegi maali.

19. sajandi lõpus - 20. sajandi alguses. ilmus palju puhtformalistlikke teooriaid kuldlõike kasutamise kohta kunsti- ja arhitektuuriteostes. Disaini ja tehnilise esteetika arenedes laienes kuldse lõike seadus autode, mööbli jms disainile.

KULDNE SUHE JA SÜMMETIA

Kuldlõiget ei saa käsitleda iseenesest, eraldi, ilma seoseta sümmeetriaga. Suur vene kristallograaf G.V. Wulff (1863-1925) pidas kuldlõiget üheks sümmeetria ilminguks.

Kuldne jagunemine ei ole asümmeetria ilming, midagi sümmeetriale vastupidist. Kaasaegsete kontseptsioonide kohaselt on kuldne jaotus asümmeetriline sümmeetria. Sümmeetriateadus hõlmab selliseid mõisteid nagu staatiline ja dünaamiline sümmeetria. Staatiline sümmeetria iseloomustab puhkust, tasakaalu ja dünaamiline sümmeetria liikumist, kasvu. Nii et looduses esindab staatilist sümmeetriat kristallide struktuur ja kunstis iseloomustab see rahu, tasakaalu ja liikumatust. Dünaamiline sümmeetria väljendab aktiivsust, iseloomustab liikumist, arengut, rütmi, on elu tunnistus. Staatilist sümmeetriat iseloomustavad võrdsed segmendid, võrdsed suurused. Dünaamilist sümmeetriat iseloomustab segmentide suurenemine või nende vähenemine ja seda väljendatakse kasvava või kahaneva seeria kuldse lõigu väärtustes.

FIBONACCCI SARI

Pisast pärit itaalia matemaatiku munga Leonardo, rohkem tuntud kui Fibonacci, nimi on kaudselt seotud kuldlõike ajalooga. Ta reisis palju idas, tutvustas Euroopat Araabia numbrid. 1202. aastal ilmus tema matemaatiline teos “Abakuse raamat” (loenduslaud), kuhu olid koondatud kõik tol ajal tuntud ülesanded.

Numbrite jada 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 jne. tuntud kui Fibonacci seeria. Arvujada eripära on see, et iga selle liige, alates kolmandast, on võrdne kahe eelneva summaga 2+3=5; 3+5=8; 5+8=13, 8+13=21; 13+21=34 jne ning seeria külgnevate arvude suhe läheneb kuldjaotuse suhtele. Niisiis, 21:34 = 0,617 ja 34:55 = 0,618. Seda suhet tähistatakse sümboliga Ф. Ainult see suhe - 0,618: 0,382 - annab sirgjoonelise lõigu pideva jaotuse kuldlõikes, selle suurenemise või vähenemise lõpmatuseni, kui väiksem segment on seotud suuremaga. suurem on kõige jaoks.

Nagu on näidatud alloleval joonisel, on sõrme iga sõrmeliigese pikkus seotud järgmise sõrmenuki pikkusega F-proportsioonis. Sama seos on näha kõigis sõrmedes ja varvastes. See seos on kuidagi ebatavaline, sest üks sõrm on teisest pikem, ilma nähtava mustrita, kuid see pole juhuslik, nii nagu kõik inimese kehas pole juhuslik. Sõrmede kaugused, mis on märgitud punktist A punktist B kuni C kuni D kuni E, on kõik üksteisega seotud proportsioonis F, nagu ka sõrmede falangid punktist F kuni G kuni H.

Heitke pilk sellele konna skeletile ja vaadake, kuidas iga luu vastab F-suhte mustrile täpselt nagu inimkehas.

ÜLDINE KULDSUHTE

Teadlased jätkasid Fibonacci arvude ja kuldlõike teooria aktiivset arendamist. Yu Matiyasevitš lahendab Fibonacci arvude abil Hilberti 10. ülesande. On olemas meetodid mitmete küberneetiliste probleemide lahendamiseks (otsingu teooria, mängud, programmeerimine), kasutades Fibonacci numbreid ja kuldset lõiku. USA-s luuakse isegi Mathematical Fibonacci Association, mis alates 1963. aastast annab välja spetsiaalset ajakirja.

Üks selle valdkonna saavutusi on üldistatud Fibonacci arvude ja üldistatud kuldsete suhete avastamine.

Tema avastatud Fibonacci seeria (1, 1, 2, 3, 5, 8) ja “binaarne” kaalude seeria 1, 2, 4, 8 on esmapilgul täiesti erinevad. Aga nende koostamise algoritmid on omavahel väga sarnased: esimesel juhul on iga arv eelmise arvu summa iseendaga 2=1+1; 4=2+2..., teises - see on kahe eelneva arvu summa 2=1+1, 3=2+1, 5=3+2... Kas on võimalik leida üldist matemaatilist valem millisest "binaarsest » seeriast ja Fibonacci seeriast? Või äkki annab see valem meile uued numbrilised komplektid, millel on mõned uued ainulaadsed omadused?

Tõepoolest, paneme paika numbrilise parameetri S, mis võib võtta mis tahes väärtuseid: 0, 1, 2, 3, 4, 5... ja on eelmisest S sammu võrra eraldatud. Kui me tähistame selle seeria n-ndat liiget? S (n), siis saame üldvalemi? S(n)=? S(n-1)+? S(n-S-1).

Ilmselgelt saame sellest valemist S=0-ga "binaarrea", S=1-ga - Fibonacci jada, mille S=2, 3, 4. uus arvude jada, mida nimetatakse S-Fibonacci arvudeks.

Üldiselt on kuldne S-proportsioon kuldse S-lõike võrrandi x S+1 -x S -1=0 positiivne juur.

Lihtne on näidata, et kui S=0, saadakse lõigu jagamine pooleks ja kui S=1, saadakse tuttav klassikaline kuldlõige.

Absoluutse matemaatilise täpsusega naaber Fibonacci S-arvude suhted langevad piirväärtuses kokku kuldsete S-proportsioonidega! Matemaatikud ütlevad sellistel juhtudel, et kuldsed S-lõiked on Fibonacci S-arvude arvulised invariandid.

Faktid, mis kinnitavad kuldsete S-lõigete olemasolu looduses, on esitanud Valgevene teadlane E.M. Soroko raamatus "Süsteemide struktuurne harmoonia" (Minsk, "Teadus ja tehnoloogia", 1984). Näiteks selgub, et hästi uuritud kahekomponentsetel sulamitel on erilised, selgelt väljendunud funktsionaalsed omadused (termiliselt stabiilsed, kõvad, kulumiskindlad, oksüdatsioonikindlad jne) ainult siis, kui lähtekomponentide erikaalud on omavahel seotud. ühe võrra kuldsetest S-proportsioonidest. See võimaldas autoril püstitada hüpoteesi, et kuldsed S-lõiked on iseorganiseeruvate süsteemide arvulised invariandid. Eksperimentaalselt kinnitatuna võib see hüpotees olla sünergia, uue teadusvaldkonna, mis uurib iseorganiseeruvates süsteemides toimuvaid protsesse, arendamiseks fundamentaalse tähtsusega.

Kuldsete S-proportsioonide koode kasutades saab mis tahes reaalarvu väljendada kuldsete S-proportsioonide astmete summana täisarvu koefitsientidega.

Põhiline erinevus selle arvude kodeerimismeetodi vahel on see, et uute koodide alused, mis on kuldsed S-proportsioonid, osutuvad irratsionaalseteks arvudeks S>0 korral. Seega panid uued irratsionaalsete alustega arvusüsteemid ratsionaalsete ja irratsionaalsete arvude vaheliste suhete ajalooliselt väljakujunenud hierarhia justkui tagurpidi. Fakt on see, et algul "avastati" naturaalarvud; siis nende suhted on ratsionaalarvud. Ja alles hiljem, pärast seda, kui Pythagoreanid avastasid võrreldamatud segmendid, ilmusid irratsionaalsed arvud. Näiteks kümnend-, kvinaar-, kahend- ja muudes klassikalistes positsioonilistes arvusüsteemides valiti omamoodi alusprintsiibina naturaalarvud: 10, 5, 2, millest teatud reeglite kohaselt on kõik muud loomulikud, aga ka ratsionaalsed ja konstrueeriti irratsionaalsed arvud.

Omamoodi alternatiiv olemasolevatele nummerdamismeetoditele on uus, irratsionaalne süsteem, mille arvutamise alguse aluspõhimõtteks valitakse irratsionaalne arv (mis, meenutame, on kuldlõike võrrandi juur) ; teised reaalarvud on juba selle kaudu väljendatud.

Sellises arvusüsteemis on iga naturaalarv alati esitatav lõpliku arvuna – ja mitte lõpmatuna, nagu varem arvati! on mis tahes kuldsete S-proportsioonide võimsuste summad. See on üks põhjusi, miks "irratsionaalne" aritmeetika, millel on hämmastav matemaatiline lihtsus ja elegants, näib olevat absorbeerinud klassikalise kahendarvu ja "Fibonacci" aritmeetika parimad omadused.

LOODUSES KUJUMISE PÕHIMÕTTED

Kõik, mis võttis mingi kuju, kujunes, kasvas, püüdles ruumis koha sisse võtta ja ennast säilitada. See püüdlus realiseerub peamiselt kahes variandis: ülespoole kasvav või üle maapinna leviv ja spiraalina keerdumine.

Kest on keerdunud spiraalselt. Selle lahti voltimisel saate mao pikkusest veidi väiksema pikkuse. Väikesel kümnesentimeetrisel kestal on 35 cm pikkune spiraal.Spiraalid on looduses väga levinud. Kuldse lõike kontseptsioon jääb puudulikuks, kui mitte öelda spiraali kohta.

Spiraalselt kõverdunud kesta kuju äratas Archimedese tähelepanu. Ta uuris seda ja tuletas spiraali võrrandi. Selle võrrandi järgi tõmmatud spiraali kutsutakse tema nime järgi. Tema sammu kasv on alati ühtlane. Praegu kasutatakse Archimedese spiraali laialdaselt inseneritöös.

Isegi Goethe rõhutas looduse kalduvust spiraalsusele. Lehtede spiraalset ja spiraalset paigutust puuokstel märgati juba ammu.

Spiraali oli näha päevalilleseemnete paigutuses, männikäbides, ananassides, kaktustes jne. Botaanikute ja matemaatikute ühistöö on valgustanud neid hämmastavaid loodusnähtusi. Selgus, et lehtede paigutuses oksal (fülotaksis), päevalilleseemnetes, männikäbides avaldub Fibonacci seeria ja seetõttu avaldub kuldlõike seadus. Ämblik keerutab oma võrku spiraalselt. Orkaan keerleb spiraalselt. Hirmunud põhjapõdrakari hajub spiraalina laiali. DNA molekul on keerdunud topeltheeliksiks. Goethe nimetas spiraali "elu kõveraks".

Mandelbroti seeria

Kuldne spiraal on tihedalt seotud tsüklitega. kaasaegne teadus kaose kohta uurib lihtsaid tsüklilisi tehteid tagasisidet ja nende poolt genereeritud fraktaalvormid, mida varem polnud teada. Joonisel on tuntud Mandelbroti seeria – lehekülg sõnastikust hüksikute mustrite jäsemed, mida nimetatakse Juliani seeriateks. Mõned teadlased seostavad Mandelbroti seeriat raku tuumade geneetilise koodiga. Sektsioonide pidev suurenemine toob esile hämmastavad fraktalid nende kunstilises keerukuses. Ja siin on ka logaritmilised spiraalid! See on seda olulisem, et nii Mandelbroti seeria kui ka Juliani seeria ei ole inimmõistuse väljamõeldis. Need tekivad Platoni prototüüpide valdkonnast. Nagu arst R. Penrose ütles, "nad on nagu Mount Everest"

Teeäärsete kõrreliste seas kasvab tähelepanuväärne taim - sigur. Vaatame seda lähemalt. Peavarrest moodustati oks. Siin on esimene leht.

Lisa teeb tugeva väljapaiskumise kosmosesse, peatub, laseb lahti lehe, aga juba lühema kui esimene, teeb jälle väljapaisku kosmosesse, aga väiksema jõuga, laseb välja veel väiksema suurusega lehe ja paiskub uuesti välja.

Kui võtta esimeseks kõrvalekaldeks 100 ühikut, siis teiseks 62 ühikuks, kolmandaks 38, neljandaks 24 jne. Ka kroonlehtede pikkus sõltub kuldsest lõikest. Kasvu, ruumi vallutamise ajal säilitas taim teatud proportsioonid. Selle kasvuimpulsid vähenesid järk-järgult võrdeliselt kuldlõikega.

Sigur

Paljudel liblikatel vastab rindkere ja kõhu kehaosade suuruse suhe kuldsele lõikele. Panin tiivad kokku ööliblikas moodustab korrapärase võrdkülgse kolmnurga. Kuid tasub tiibu sirutada ja näete sama põhimõtet keha jagamisel 2, 3, 5, 8. Ka draakon luuakse vastavalt kuldlõike seadustele: saba pikkuste suhe. ja keha on võrdne kogupikkuse ja saba pikkuse suhtega.

Sisalikus tabavad esmapilgul meie silmadele meeldivad proportsioonid - tema saba pikkus on seotud ülejäänud keha pikkusega 62 kuni 38.

elujõuline sisalik

Nii taime- kui ka loomamaailmas murrab visalt läbi looduse kujundamise tendents - sümmeetria kasvu- ja liikumissuuna suhtes. Siin ilmneb kuldne suhe kasvusuunaga risti olevate osade proportsioonides.

Loodus on jaotanud sümmeetrilisteks osadeks ja kuldseteks proportsioonideks. Osades avaldub terviku struktuuri kordus.

Suurt huvi pakub vormide uurimine linnumunad. Nende erinevad vormid kõiguvad kahe äärmusliku tüübi vahel: ühe neist saab kirjutada kuldlõike ristkülikusse, teise ristkülikusse, mille moodul on 1,272 (kuldse lõike juur).

Sellised linnumunade vormid ei ole juhuslikud, kuna nüüdseks on kindlaks tehtud, et kuldlõike suhtega kirjeldatud munade kuju vastab munakoore suurematele tugevusomadustele.

Elevantide ja väljasurnud mammutite kihvad, lõvide küünised ja papagoide nokad on logaritmilised vormid ja sarnanevad spiraaliks muutuva telje kujuga.

Looduses on levinud "viisnurksel" sümmeetrial põhinevad vormid (tähed, merisiilikud, lilled).

Kuldne suhe on olemas kõigi kristallide struktuuris, kuid enamik kristalle on mikroskoopiliselt väikesed, nii et me ei näe neid palja silmaga. Lumehelbed, mis on ühtlasi ka veekristallid, on aga meie silmadele üsna kättesaadavad. Kõik oivalise iluga figuurid, mis moodustavad lumehelbeid, kõik teljed, ringid ja geomeetrilised kujundid lumehelvestes, on samuti alati eranditult ehitatud kuldse lõike täiusliku selge valemi järgi.

Mikrokosmoses on kuldsete proportsioonide järgi üles ehitatud kolmemõõtmelised logaritmilised vormid kõikjal. Näiteks on paljudel viirustel kolmemõõtmeline geomeetriline kuju ikosaeeder. Võib-olla kõige kuulsam neist viirustest on adenoviirus. Adenoviiruse valgu kest moodustub 252 ühikust valgurakkudest, mis on paigutatud kindlasse järjestusse. Ikosaeedri igas nurgas on 12 valgu rakuüksust, mis on viisnurkse prisma kujulised, ja nendest nurkadest ulatuvad teravikulaadsed struktuurid.

Adeno viirus

Viiruste struktuuri kuldlõige avastati esmakordselt 1950. aastatel. Londoni Birkbecki kolledži teadlased A. Klug ja D. Kaspar. Esimese logaritmilise vormi paljastas iseenesest Polyo viirus. Selle viiruse vorm osutus sarnaseks Rhino viiruse omaga.

Tekib küsimus: kuidas moodustavad viirused nii keerulisi kolmemõõtmelisi vorme, mille seade sisaldab kuldlõiget, mida on isegi meie inimmõistusega üsna raske konstrueerida? Nende viiruste vormide avastaja, viroloog A. Klug kommenteerib järgmist: „Me oleme dr Kaspariga näidanud, et viiruse sfäärilise kesta jaoks on optimaalseim kuju sümmeetria nagu ikosaeedri kuju. Selline järjekord minimeerib ühenduselementide arvu... Enamik Buckminster Fulleri geodeetilistest poolkerakujulistest kuubikutest on konstrueeritud sarnase geomeetrilise põhimõtte järgi. Selliste kuubikute paigaldamine nõuab äärmiselt täpset ja üksikasjalikku selgitusskeemi, samas kui teadvuseta viirused konstrueerivad ise sellise keeruka kesta elastsetest, painduvatest valgurakkudest.

Klugi kommentaar tuletab taaskord meelde äärmiselt ilmset tõde: isegi mikroskoopilise organismi struktuuris, mille teadlased liigitavad "kõige primitiivsemaks eluvormiks", antud juhul viirus, on selge plaan ja mõistlik projekt. rakendatud. See projekt on oma täiuslikkuse ja teostamise täpsuse poolest võrreldamatu inimeste loodud kõige arenenumate arhitektuuriprojektidega. Näiteks särava arhitekti Buckminster Fulleri loodud projektid.

Dodekaeedri ja ikosaeedri kolmemõõtmelised mudelid esinevad ka üherakuliste meremikroorganismide radiolaariaanide (kiirte) skelettide struktuuris, mille skelett on valmistatud ränidioksiidist.

Radiolarians moodustavad oma keha väga peen, ebatavalise iluga. Nende kuju on korrapärane dodekaeedr ja igast selle nurgast kasvab välja pseudopikendus-jäse ja muud ebatavalised vormid-kasvud.

Suur Goethe, luuletaja, loodusteadlane ja kunstnik (ta maalis ja maalis akvarelliga), unistas ühtse õpetuse loomisest orgaaniliste kehade vormist, kujunemisest ja muundumisest. Just tema tõi teaduslikku kasutusse mõiste morfoloogia.

Pierre Curie sõnastas meie sajandi alguses mitmeid sügavaid sümmeetriaideid. Ta väitis, et ühegi keha sümmeetriat ei saa arvestada ilma keskkonna sümmeetriat arvestamata.

"Kuldse" sümmeetria mustrid avalduvad elementaarosakeste energiaüleminekutes, mõnede keemiliste ühendite struktuuris, planeedi- ja kosmosesüsteemides, elusorganismide geenistruktuurides. Need mustrid, nagu eespool märgitud, on üksikute inimorganite ja keha kui terviku struktuuris ning avalduvad ka biorütmides ja aju toimimises ja visuaalses tajumises.

INIMKEHA JA KULDLÕIK

Kõik inimese luud on proportsioonis kuldlõikega. Meie keha erinevate osade proportsioonid moodustavad kuldsele lõikele väga lähedase arvu. Kui need proportsioonid langevad kokku kuldse lõike valemiga, siis peetakse inimese välimust või keha ideaalselt üles ehitatud.

Kuldsed proportsioonid inimkeha osades

Kui võtta inimkeha keskpunktiks nabapunkt ning mõõtühikuks jalalaba ja nabapunkti vaheline kaugus, siis on inimese pikkus võrdne arvuga 1,618.

• kaugus õla kõrgusest pea võrani ja pea suurus on 1:1,618;
• kaugus nabapunktist pea võrani ja õla kõrgusest pea võrani on 1:1,618;
• nabapunkti kaugus põlvedeni ja põlvedest jalgadeni on 1:1,618;
• kaugus lõua tipust ülahuule tipuni ja ülahuule tipust ninasõõrmeteni on 1:1,618;
• tegelikult on kuldse proportsiooni täpne olemasolu inimese näos inimese pilgu jaoks iluideaal;
• kaugus lõua tipust kulmude ülemise jooneni ja kulmude ülemisest joonest kroonini on 1:1,618;
• näo kõrgus/laius;
• huulte keskne ühenduskoht ninapõhjaga / nina pikkus;
• näo kõrgus/kaugus lõua tipust huulte ristmiku keskpunktini;
• suu laius/nina laius;
• nina laius / ninasõõrmete vaheline kaugus;
• pupillide vaheline kaugus / kulmude vaheline kaugus.

Piisab, kui tuua nüüd peopesa endale lähemale ja vaadata hoolikalt nimetissõrme ning leiad sealt kohe kuldse lõike valemi.

Meie käe iga sõrm koosneb kolmest falangist. Sõrme kahe esimese falangi pikkuste summa kogu sõrme pikkuse suhtes annab kuldse lõigu numbri (välja arvatud pöial).

Lisaks on keskmise ja väikese sõrme suhe võrdne ka kuldse lõikega.

Inimesel on 2 kätt, kummagi käe sõrmed koosnevad 3 falangist (välja arvatud pöial). Igal käel on 5 sõrme, see tähendab kokku 10, kuid kui kaks kahefalangeaalset pöialt välja arvata, luuakse kuldlõike põhimõttel vaid 8 sõrme. Kõik need numbrid 2, 3, 5 ja 8 on Fibonacci jada numbrid.

Samuti tuleb märkida, et enamiku inimeste puhul on laiutatud käte otste vaheline kaugus võrdne kõrgusega.

Kuldse lõike tõed on meie sees ja meie ruumis. Inimese kopse moodustavate bronhide eripära seisneb nende asümmeetrias. Bronhid koosnevad kahest peamisest hingamisteedest, millest üks (vasakul) on pikem ja teine ​​(paremal) lühem. Leiti, et see asümmeetria jätkub bronhide harudes, kõigis väiksemates hingamisteed. Pealegi on lühikeste ja pikkade bronhide pikkuse suhe ka kuldne suhe ja võrdub 1:1,618.

Inimese sisekõrvas on elund Cochlea ("Tigu"), mis täidab helivibratsiooni edastamise funktsiooni. See luustruktuur on täidetud vedelikuga ja loodud ka teo kujul, mis sisaldab stabiilset logaritmilist spiraali =73 0 43".

Vererõhk muutub südame löögi ajal. See saavutab suurima väärtuse südame vasakus vatsakeses selle kokkutõmbumise (süstooli) ajal. Arterites südame vatsakeste süstoli ajal saavutab vererõhk noorel tervel inimesel maksimaalse väärtuse, mis on 115–125 mm Hg. Südamelihase lõõgastumise hetkel (diastool) langeb rõhk 70-80 mm Hg-ni. Maksimaalse (süstoolse) ja minimaalse (diastoolse) rõhu suhe on keskmiselt 1,6, see tähendab kuldsele suhtele lähedane.

Kui võtta ühikuna keskmine vererõhk aordis, siis süstoolne vererõhk aordis on 0,382 ja diastoolne 0,618 ehk nende suhe vastab kuldsele lõikele. See tähendab, et südame töö ajatsüklite ja vererõhu muutuste suhtes optimeeritakse vastavalt samale kuldlõike seaduse põhimõttele.

DNA molekul koosneb kahest vertikaalselt põimunud heeliksist. Kõik need spiraalid on 34 angströmi pikk ja 21 angströmi lai. (1 angström on sada miljondik sentimeetrit).

DNA molekuli heeliksi lõigu struktuur

Nii et 21 ja 34 on Fibonacci arvude jadas üksteise järel järgnevad numbrid, see tähendab, et DNA molekuli logaritmilise spiraali pikkuse ja laiuse suhe kannab kuldlõike valemit 1: 1,618.

KULDLÕIK SKULPTUURIS

Skulptuurehitisi, monumente püstitatakse oluliste sündmuste jäädvustamiseks, järeltulijate mälestuseks kuulsate inimeste nimede, nende vägitegude ja tegude säilitamiseks. On teada, et isegi iidsetel aegadel oli skulptuuri aluseks proportsioonide teooria. Kuldlõike valemiga seostati inimkehaosade suhet. "Kuldse lõike" proportsioonid loovad mulje harmooniast, ilust, nii et skulptorid kasutasid neid oma töödes. Skulptorid väidavad, et talje poolitab täiusliku inimkeha "kuldse lõigu" suhtes. Nii näiteks koosneb kuulus Apollo Belvedere kuju osadest, mis on jagatud kuldsete suhete järgi. Vana-Kreeka suur skulptor Phidias kasutas oma töödes sageli "kuldset lõiku". Tuntuimad neist olid Olümpose Zeusi kuju (mida peeti üheks maailmaimeks) ja Athena Parthenon.

Apollo Belvedere kuju kuldne proportsioon on teada: kujutatava inimese kõrgus on jagatud kuldlõikes oleva nabajoonega.

KULDLÕIK ARHITEKTUURIS

"Kuldlõike" käsitlevates raamatutes võib leida märkuse, et arhitektuuris, nagu ka maalikunstis, sõltub kõik vaatleja positsioonist ja kui ühest küljest tundub, et hoone mõned proportsioonid moodustavad "kuldlõike", siis näevad nad teistest vaatenurkadest teistsugused välja. "Kuldne osa" annab teatud pikkuste suuruste kõige pingevabama suhte.

Vana-Kreeka arhitektuuri üks ilusamaid teoseid on Parthenon (V sajand eKr).

Joonistel näha terve rida kuldse lõikega seotud mustrid. Hoone proportsioone saab väljendada arvu Ф = 0,618 erinevate astmete kaudu ...

Parthenonil on 8 sammast lühikestel külgedel ja 17 pikkadel. Äärised on täielikult valmistatud Pentileani marmori ruutudest. Materjali õilsus, millest tempel ehitati, võimaldas piirata Kreeka arhitektuuris levinud koloriidi kasutamist, see rõhutab vaid detaile ja moodustab skulptuurile värvilise tausta (sinise ja punase). Hoone kõrguse ja pikkuse suhe on 0,618. Kui jagame Parthenoni "kuldse lõigu" järgi, saame fassaadi teatud väljaulatuvad osad.

Parthenoni korruseplaanil on näha ka "kuldseid ristkülikuid".

Kuldlõiget näeme katedraali hoones Pariisi Notre Dame(Notre Dame de Paris) ja Cheopsi püramiidis.

Mitte ainult Egiptuse püramiidid ei ehitatud vastavalt kuldlõike täiuslikele proportsioonidele; sama nähtust leidub ka Mehhiko püramiidides.

Pikka aega uskusid, et arhitektid Vana-Vene ehitas kõik "silma järgi", ilma eriliste matemaatiliste arvutusteta. Kuid uusim uurimus näitas, et vene arhitektid teadsid hästi matemaatilisi proportsioone, mida tõendab iidsete templite geomeetria analüüs.

Kuulus vene arhitekt M. Kazakov kasutas oma töös laialdaselt "kuldlõiget". Tema talent oli mitmetahuline, kuid suuremal määral ilmutas ta end arvukates valminud elamute ja kinnistute projektides. Näiteks võib "kuldse lõike" leida Kremli senatihoone arhitektuurist. M. Kazakovi projekti järgi ehitati Moskvasse Golitsõni haigla, mida praegu nimetatakse N. I. nimeliseks esimeseks kliiniliseks haiglaks. Pirogov.

Petrovski palee Moskvas. Ehitatud M.F. projekti järgi. Kazakova

Teine Moskva arhitektuuriline meistriteos - Paškovi maja - on V. Bazhenovi üks täiuslikumaid arhitektuuriteoseid.

Paškovi maja

V. Bazhenovi imeline looming on kindlalt sisenenud kaasaegse Moskva keskuse ansamblisse, rikastanud seda. Maja välisvaade on säilinud peaaegu muutumatuna tänapäevani, vaatamata sellele, et see põles tugevasti 1812. Restaureerimise käigus omandas hoone massiivsemad vormid. Säilinud pole ka hoone sisemine planeering, millest annab aimu vaid alumise korruse joonis.

Paljud arhitekti väited väärivad tänapäeval tähelepanu. Oma lemmikkunsti kohta ütles V. Bazhenov: “Arhitektuuril on kolm peamist teemat: hoone ilu, rahulikkus ja tugevus ... Selle saavutamiseks on juhiseks teadmised proportsioonist, perspektiivist, mehaanikast või füüsikast üldiselt ning Kõigil neil on ühine juht, on põhjus.

KULDSUHTE MUUSIKAS

Igal muusikapalal on ajavahemik ja see on jagatud mõneks "esteetiliseks verstapostiks" eraldi osadeks, mis tõmbavad tähelepanu ja hõlbustavad tajumist tervikuna. Need verstapostid võivad olla muusikateose dünaamilised ja intonatsioonilised kulminatsioonipunktid. Muusikateose eraldiseisvad ajaintervallid, mida ühendab "kliimasündmus", on reeglina kuldse suhte vahekorras.

Veel 1925. aastal oli kunstikriitik L.L. Sabanejev, analüüsides 42 autori 1770 muusikapala, näitas, et valdava osa silmapaistvatest teostest saab hõlpsasti jagada osadeks kas teema, intonatsiooni või modaalsüsteemi järgi, mis on seotud kuldlõikega. Veelgi enam, mida andekam helilooja, seda rohkem kuldseid lõike tema teostes leidus. Kuldlõige jätab Sabanejevi sõnul mulje muusikalise kompositsiooni erilisest harmooniast. Seda tulemust kinnitas Sabanejev kõigil 27 Chopini etüüdil. Ta leidis neist 178 kuldset lõiget. Samas selgus, et mitte ainult suured osad etüüdidest ei jaga kuldlõike suhtes kestuse järgi, vaid osad etüüdidest on sageli jagatud samas vahekorras.

Helilooja ja teadlane M.A. Marutajev luges kokku kuulsa Appassionata sonaadi taktide arvu ja leidis hulga huvitavaid arvulisi seoseid. Eelkõige arenduses, sonaadi keskses struktuuriüksuses, kus teemasid intensiivselt arendatakse ja võtmed üksteist asendavad, on kaks põhiosa. Esimeses - 43,25 tsüklit, teises - 26,75. Suhe 43,25:26,75=0,618:0,382=1,618 annab kuldlõike.

Arenskyl (95%), Beethovenil (97%), Haydnil (97%), Mozartil (91%), Chopinil (92%), Schubertil (91%) on kõige rohkem teoseid, milles on kuldlõige.

Kui muusika on helide harmooniline järjestus, siis luule on kõne harmooniline järjestus. Selge rütm, rõhuliste ja rõhutute silpide regulaarne vaheldumine, luuletuste korrastatud mõõtmelisus, nende tunderikkus teevad luulest muusikateoste õe. Kuldlõige luules avaldub eelkõige luuletuse teatud hetke (haripunkt, semantiline pöördepunkt, teose põhiidee) olemasolu reas, mis on omistatav luuletuse ridade koguarvu eralduspunktile. kuldses lõikes. Niisiis, kui luuletus sisaldab 100 rida, langeb kuldse suhte esimene punkt 62. reale (62%), teine ​​- 38. (38%) jne. Aleksander Sergejevitš Puškini teosed, sealhulgas "Jevgeni Onegin", on parim vastavus kuldlõikele! Shota Rustaveli ja M.Yu teosed. Lermontov on samuti üles ehitatud kuldse lõigu põhimõttel.

Stradivari kirjutas, et kasutas kuldlõiget oma kuulsate viiulite kehade f-kujuliste sälkude asukoha määramiseks.

KULDLÕIK LUULES

Poeetiliste teoste uurimine nendest positsioonidest on alles algamas. Ja alustada tuleb A.S. luulest. Puškin. On ju tema teosed vene kultuuri silmapaistvama loomingu näide, eeskuju kõrgeim tase harmooniat. A.S. luulest. Puškin, alustame kuldse lõike – harmoonia ja ilu mõõdu – otsimist.

Suur osa poeetiliste teoste struktuurist muudab selle kunstiliigi muusikaga seotuks. Selge rütm, rõhuliste ja rõhutute silpide regulaarne vaheldumine, luuletuste korrastatud mõõtmelisus, nende tunderikkus teevad luulest muusikateoste õe. Igal salmil on oma muusikaline vorm, oma rütm ja meloodia. Võib eeldada, et luuletuste struktuuris ilmnevad mõned muusikateoste tunnused, muusikalise harmoonia mustrid ja sellest tulenevalt ka kuldlõige.

Alustame luuletuse suurusest, see tähendab ridade arvust selles. Näib, et see luuletuse parameeter võib meelevaldselt muutuda. Selgus aga, et see nii ei olnud. Näiteks luuletuste analüüs A.S. Puškin näitas, et värsside suurused on jaotunud väga ebaühtlaselt; selgus, et Puškin eelistab selgelt suurusi 5, 8, 13, 21 ja 34 rida (Fibonacci numbrid).

Paljud uurijad on märganud, et luuletused on nagu muusikapalad; neil on ka haripunktid, mis jagavad luuletuse proportsionaalselt kuldlõikega. Mõelgem näiteks ühele A.S. luuletusele. Puškin "kingsepp":

Analüüsime seda tähendamissõna. Luuletus koosneb 13 reast. See tõstab esile kaks semantilist osa: esimene 8 reas ja teine ​​(mõistusõna moraal) 5 reas (13, 8, 5 on Fibonacci numbrid).

Üks Puškini viimaseid luuletusi "Ma ei hinda kõrgetasemelisi õigusi ..." koosneb 21 reast ja selles eristatakse kahte semantilist osa: 13 ja 8 reas:

Iseloomulik on, et selle värsi esimene osa (13 rida) jaguneb semantilise sisu poolest 8 ja 5 reaks ehk kogu luuletus on üles ehitatud kuldlõike seaduspärasuste järgi.

Kahtlemata pakub huvi N. Vasjutinski romaani "Jevgeni Onegin" analüüs. See romaan koosneb 8 peatükist, millest igaühes on keskmiselt umbes 50 salmi. Kõige täiuslikum, viimistletum ja emotsionaalselt rikkalikum on kaheksas peatükk. Sellel on 51 salmi. Koos Jevgeni kirjaga Tatjanale (60 rida) vastab see täpselt Fibonacci numbrile 55!

N. Vasjutinski ütleb: "Peatüki kulminatsiooniks on Jevgeni armastusavaldus Tatjana vastu - rida "Kahvatu ja tuhmub ... see on õndsus!" See rida jagab kogu kaheksanda peatüki kaheks osaks: esimeses on 477 ja teises 295 rida. Nende suhe on 1,617! Peenem vastavus kuldlõike väärtusele! See on suur harmoonia ime, mille on saavutanud Puškini geenius!

E. Rosenov analüüsis paljusid M.Yu poeetilisi teoseid. Lermontov, Schiller, A.K. Tolstoi ja avastas neis ka "kuldlõike".

Lermontovi kuulus luuletus "Borodino" on jagatud kaheks osaks: jutustajale suunatud sissejuhatus, mis hõlmab ainult ühte stroofi ("Ütle mulle, onu, see pole põhjuseta ...") ja põhiosa, mis esindab iseseisvat tervikut, mis jaguneb kaheks samaväärseks osaks. Esimene neist kirjeldab kasvava pingega lahinguootust, teine ​​kirjeldab lahingut ennast koos pinge järkjärgulise vähenemisega luuletuse lõpupoole. Piir nende osade vahel on teose haripunkt ja langeb täpselt selle kuldlõikega jagamise punktile.

Luuletuse põhiosa koosneb 13 seitsmest reast, see tähendab 91 reast. Jagades selle kuldlõikega (91:1,618=56,238), veendume, et jaotuspunkt on 57. salmi alguses, kus on lühike fraas: "No see oli päev!" Just see fraas tähistab "põneva ootuse kulminatsioonipunkti", mis lõpetab luuletuse esimese osa (lahingu ootus) ja avab selle teise osa (lahingu kirjeldus).

Seega on kuldlõikel luules väga tähendusrikas roll, tuues esile luuletuse haripunkti.

Paljud Shota Rustaveli luuletuse "Rüütel pantrinahas" uurijad märgivad tema värsi erakordset harmooniat ja meloodiat. Need poeemi omadused on Gruusia teadlane, akadeemik G.V. Tsereteli omistab selle luuletaja teadlikule kuldlõike kasutamisele nii luuletuse vormi kujundamisel kui ka luuletuste ülesehitamisel.

Rustaveli luuletus koosneb 1587 stroofist, millest igaüks koosneb neljast reast. Iga rida koosneb 16 silbist ja on jagatud kaheks võrdseks 8-silbiliseks osaks igal poolreal. Kõik poolikud jagunevad kahte kahte tüüpi segmenti: A - võrdsete segmentide ja paarissilpide arvuga (4 + 4) hemistih; B on pooljoon, mis jaguneb asümmeetriliselt kaheks ebavõrdseks osaks (5+3 või 3+5). Seega on pooljoonel B suhted 3:5:8, mis on ligikaudne kuldsele lõikele.

On kindlaks tehtud, et Rustaveli luuletuse 1587 stroofist on üle poole (863) üles ehitatud kuldlõike põhimõttel.

Sündinud meie ajal uut tüüpi kunst – kino, mis neelas tegevuse, maali, muusika dramaturgiat. Kuldlõike ilminguid on õigustatud otsida silmapaistvatest kinematograafiateostest. Esimesena tegi seda maailmakino meistriteose “Lahingulaev Potjomkin” looja, filmirežissöör Sergei Eisenstein. Selle pildi ehitamisel õnnestus tal kehastada harmoonia põhiprintsiipi - kuldset lõiku. Nagu Eisenstein ise märgib, lehvib punane lipp mässulise lahingulaeva mastis (filmi apogeepunkt) filmi lõpust lugedes kuldse lõike punktis.

KULDSUHTE FONTIDES JA MAJANDUSEESTES

Vana-Kreeka kujutava kunsti erilist tüüpi tuleks esile tõsta igasuguste anumate valmistamist ja värvimist. Elegantses vormis on kuldse lõigu proportsioonid kergesti ära arvatavad.

Templite maalimisel ja skulptuuril ning majapidamistarvetel kujutasid iidsed egiptlased kõige sagedamini jumalaid ja vaaraosid. Kehtestati seisva inimese kujundi kaanonid, kõndimine, istumine jne. Kunstnikud pidid tabelitest ja näidistest pähe õppima üksikud kujundite vormid ja skeemid. Vana-Kreeka kunstnikud tegid erireise Egiptusesse, et õppida kaanonit kasutama.

VÄLISKESKKONNA OPTIMAALSED FÜÜSIKALISED PARAMEETRID

Teatavasti maksimaalne helitugevus, mis põhjustab valu, võrdub 130 detsibelliga. Kui jagada see intervall kuldse suhtega 1,618, saame 80 detsibelli, mis on tüüpiline inimese karje valjule. Kui nüüd jagada 80 detsibelli kuldlõikega, saame 50 detsibelli, mis vastab inimkõne valjusele. Lõpuks, kui jagada 50 detsibelli kuldse suhte 2,618 ruuduga, saame 20 detsibelli, mis vastab inimese sosinale. Seega on kõik helitugevuse iseloomulikud parameetrid omavahel seotud kuldlõike kaudu.

Temperatuuril 18-20 0 C intervalliga niiskus Optimaalseks peetakse 40-60%. Optimaalse niiskusvahemiku piirid on võimalik saada, kui absoluutne niiskus 100% jagatakse kaks korda kuldse suhtega: 100 / 2,618 = 38,2% (alumine piir); 100/1,618=61,8% (ülemine piir).

Kell õhurõhk 0,5 MPa, inimene kogeb ebamugavust, tema füüsiline ja psühholoogiline aktiivsus halveneb. Rõhul 0,3-0,35 MPa on lubatud ainult lühiajaline töö ja rõhul 0,2 MPa on lubatud töötada mitte rohkem kui 8 minutit. Kõik need iseloomulikud parameetrid on omavahel seotud kuldlõikega: 0,5/1,618=0,31 MPa; 0,5/2,618=0,19 MPa.

Piiriparameetrid välistemperatuur, mille piires on võimalik inimese normaalne olemasolu (ja mis kõige tähtsam, päritolu), on temperatuurivahemik 0 kuni + (57-58) 0 C. Ilmselgelt võib esimese seletuste piiri ära jätta.

Jagame näidatud positiivsete temperatuuride vahemiku kuldse suhtega. Sel juhul saame kaks piiri (mõlemad piirid on inimkehale iseloomulikud temperatuurid): esimene vastab temperatuurile, teine ​​piir vastab maksimumile. võimalik temperatuur välisõhk inimkehale.

KULDLÕIK MALLIS

Juba renessansiajal avastasid kunstnikud, et igal pildil on teatud punktid, mis tahes-tahtmata meie tähelepanu köidavad, nn visuaalsed keskused. Sel juhul pole vahet, mis formaadis pilt on horisontaalne või vertikaalne. Selliseid punkte on ainult neli ja need asuvad tasapinna vastavatest servadest 3/8 ja 5/8 kaugusel.

Seda avastust tolleaegsete kunstnike seas nimetati pildi "kuldseks lõiguks".

Pöördudes maalikunsti "kuldlõike" näidete poole, ei saa jätta tähelepanuta Leonardo da Vinci loomingut. Tema identiteet on üks ajaloo mõistatusi. Leonardo da Vinci ise ütles: "Ärgu keegi, kes pole matemaatik, julge minu teoseid lugeda."

Ta saavutas kuulsuse ületamatu kunstnikuna, suure teadlasena, geeniusena, kes nägi ette paljusid leiutisi, mida rakendati alles 20. sajandil.

Pole kahtlustki, et Leonardo da Vinci oli suurepärane kunstnik, tema kaasaegsed tunnistasid seda juba, kuid tema isiksust ja tegevust varjab mõistatus, kuna ta ei jätnud järeltulijatele mitte oma ideede ühtset esitlust, vaid ainult arvukalt käsitsi kirjutatud visandeid, märkmeid. mis ütlevad "mõlemad maailmas".

Ta kirjutas paremalt vasakule loetamatu käekirjaga ja vasaku käega. See on kõige kuulsam näide peegli kirjutamisest.

Monna Lisa (Gioconda) portree on aastaid pälvinud teadlaste tähelepanu, kes avastasid, et joonise kompositsioon põhineb kuldsetel kolmnurkadel, mis on tavalise tähe viisnurga osad. Selle portree ajaloo kohta on palju versioone. Siin on üks neist.

Kord sai Leonardo da Vinci pankur Francesco del Giocondolt korralduse maalida portree noorest naisest, pankuri naisest Monna Lisast. Naine ei olnud ilus, kuid teda köitis välimuse lihtsus ja loomulikkus. Leonardo nõustus maalima portree. Tema modell oli kurb ja kurb, kuid Leonardo rääkis talle muinasjuttu, mille kuuldes muutus ta elavaks ja huvitavaks.

MUINASJUTT. Elas kord üks vaene mees, tal oli neli poega: kolm tarka ja üks neist nii ja naa. Ja siis saabus isa surm. Enne oma elust lahkuminekut kutsus ta lapsed enda juurde ja ütles: "Mu pojad, varsti ma suren. Niipea, kui mind matta, pange onn lukku ja minge maailma lõppu oma varandust teenima. Õppigu igaüks teist midagi, et saaksite end toita. Isa suri ja pojad läksid mööda maailma laiali, nõustudes kolm aastat hiljem oma kodusalu lagendikku naasta. Tuli esimene vend, kes õppis puutööd tegema, puu langetama ja raius, tegi sellest naise, kõndis veidi eemale ja ootab. Teine vend tuli tagasi, nägi puust naist ja kuna ta oli rätsep, pani ta ühe minutiga riidesse: osava käsitöölisena õmbles ta talle ilusad siidist riided. Kolmas poeg kaunistas naist kulla ja vääriskividega – oli ju juveliir. Lõpuks saabus neljas vend. Ta ei osanud puutööd teha ja õmmelda, ta teadis ainult kuulata, mida maa, puud, rohud, loomad ja linnud räägivad, ta tundis taevakehade kulgu ja oskas ka imelisi laule laulda. Ta laulis laulu, mis ajas põõsaste taha varjunud vennad nutma. Selle lauluga äratas ta naise elule, too naeratas ja ohkas. Vennad tormasid tema juurde ja karjusid kumbki üht ja sama: "Sa oled vist mu naine." Naine aga vastas: “Sa lõid mind – ole mu isa. Sa panid mind riidesse ja kaunistasid mind – olge mu vennad. Ja sina, kes sa mu hinge mulle sisse puhusid ja elu nautima õpetasid, vajan sind üksi kogu eluks.

Pärast loo lõpetamist vaatas Leonardo Monna Lisale otsa, tema nägu säras valguses, silmad särasid. Siis, justkui unenäost ärgates, ohkas ta, viis käega üle näo ja läks sõnagi lausumata oma kohale, pani käed kokku ja võttis oma tavapärase kehahoia. Aga tegu sai tehtud – kunstnik äratas ükskõikse kuju; õndsuse naeratus, mis aeglaselt tema näolt kadus, jäi suunurkadesse ja värises, andes tema näole hämmastava, salapärase ja kergelt kavala ilme, nagu inimesel, kes on õppinud saladust ja seda hoolikalt hoides ei suuda. ohjeldada tema triumfi. Leonardo töötas vaikides, kartes igatseda seda hetke, seda päikesekiirt, mis valgustas tema igavat modelli...

Raske on märgata, mida selles kunstiteoses märgati, kuid kõik rääkisid Leonardo sügavatest teadmistest inimkeha ehituse kohta, tänu millele õnnestus tal tabada see justkui salapärane naeratus. Räägiti pildi üksikute osade väljendusrikkusest ja maastikust, portree enneolematust kaaslasest. Räägiti väljenduse loomulikkusest, poosi lihtsusest, käte ilust. Kunstnik on teinud midagi enneolematut: pildil on kujutatud õhku, see ümbritseb figuuri läbipaistva uduga. Vaatamata edule oli Leonardo nukker, Firenze olukord tundus kunstnikule valus, ta valmistus minema. Üleujutuskorralduste meeldetuletused teda ei aidanud.

Kuldlõige pildil I.I. Shishkin "Pine Grove". Sellel kuulsal maalil I.I. Shishkin, kuldse lõigu motiivid on selgelt nähtavad. Eredalt valgustatud mänd (seisab esiplaanil) jagab pildi pikkuse vastavalt kuldlõikele. Männipuust paremal on päikese käes valgustatud küngas. See jagab pildi parema külje horisontaalselt vastavalt kuldsele lõikele. Põhimännist vasakul on palju mände - soovi korral saab edukalt jätkata pildi jagamist vastavalt kuldlõikele ja edasi.

männisalu

Eredate vertikaalide ja horisontaalide olemasolu pildil, jagades selle kuldlõike suhtes, annab sellele kunstniku kavatsusele vastava tasakaalu ja rahu iseloomu. Kui kunstniku kavatsus on erinev, kui ta loob näiteks kiiresti areneva tegevusega pildi, muutub selline geomeetriline kompositsiooniskeem (ülekaalus vertikaalid ja horisontaalid) vastuvõetamatuks.

IN JA. Surikov. "Boyar Morozova"

Tema roll on määratud pildi keskmisele osale. Seda seovad pildi süžee kõrgeima tõusu ja madalaima languse punkt: kõrgeima punktina Morozova kahe sõrmega ristimärgiga käe tõus; abitult väljasirutatud käsi samale aadliprouale, aga seekord vanaproua - kerjusränduri käsi, käsi, mille alt koos viimse pääsemislootusega välja lipsab ka kelgu ots.

Ja kuidas on " kõrgeim punkt"? Esmapilgul on meil näiline vastuolu: lõppude lõpuks ei läbi lõik A 1 B 1, mis on 0,618 ... pildi paremast servast, käsivart, isegi mitte läbi pea või silma. aadliproua, aga osutub kusagil aadliproua suu ees.

Kuldlõige lõikab siin tõesti kõige olulisemat asja. Temas ja just temas peitub Morozova suurim tugevus.

Pole ühtegi maali, mis oleks poeetilisem kui Sandro Botticelli oma, ja suurel Sandrol pole kuulsamat maali kui tema Veenus. Botticelli jaoks on tema Veenus looduses valitseva "kuldse lõigu" universaalse harmoonia idee kehastus. Veenuse proportsionaalne analüüs veenab meid selles.

Veenus

Raphael "Ateena kool". Raphael ei olnud matemaatik, kuid nagu paljudel selle ajastu kunstnikel, oli tal märkimisväärseid teadmisi geomeetriast. Kuulsal freskol "Ateena kool", kus teaduse templis peetakse suurte antiikaja filosoofide seltskonda, köidab meie tähelepanu Vana-Kreeka suurima matemaatiku Eukleidese rühm, kes võtab lahti keeruka joonise.

Ka kahe kolmnurga geniaalne kombinatsioon on üles ehitatud vastavalt kuldsele lõikele: selle saab kirjutada ristkülikusse, mille kuvasuhe on 5/8. Seda joonist on üllatavalt lihtne sisestada arhitektuuri ülemisse sektsiooni. Kolmnurga ülemine nurk toetub vastu kaare päiskivi vaatajale lähimas piirkonnas, alumine - perspektiivide kadumise punktis ja külgmine osa näitab ruumilise lõhe proportsioone kaare kahe osa vahel. .

Kuldne spiraal Raphaeli maalil "Süütute veresaun". Erinevalt kuldlõikest on dünaamika, põnevuse tunne ehk kõige enam väljendunud teises lihtsas geomeetrilises kujundis - spiraalis. Mitmefiguuriline kompositsioon, mille tegi Raphael aastatel 1509–1510, mil kuulus maalikunstnik Vatikanis oma freskod lõi, eristub just süžee dünaamilisuse ja dramaatilisuse poolest. Raphael ei viinud oma ideed kunagi lõpuni, kuid tema visandi graveeris tundmatu itaalia graafik Marcantinio Raimondi, kes selle visandi põhjal lõi gravüüri Süütute veresaun.

Süütute veresaun

Kui Raffaeli ettevalmistaval visandil joonistame mõtteliselt kompositsiooni semantilisest keskmest jooksvaid jooni - punkte, kus sõdalase sõrmed sulgusid ümber lapse pahkluu, mööda lapse figuure, naine hoiab teda enda külge, sõdalane ülestõstetud mõõgaga ja seejärel piki sama rühma figuure paremal küljel (joonisel on need jooned punasega joonistatud) ja seejärel ühendage need kõvera tükid punktiirjoonega, seejärel kuldse joonega. spiraal saadakse väga suure täpsusega. Seda saab kontrollida, mõõtes spiraaliga lõigatud segmentide pikkuste suhet kõvera algust läbivatel sirgjoontel.

KULDSUHTE JA KULDIDE TAJUMINE

Inimese visuaalse analüsaatori võime eristada kuldlõike algoritmi järgi ehitatud objekte kaunite, atraktiivsete ja harmoonilistena on ammu teada. Kuldlõige annab tunde kõige täiuslikumast ühtsest tervikust. Paljude raamatute formaat järgib kuldlõiget. See on valitud akende, maalide ja ümbrike, postmarkide, visiitkaartide jaoks. Inimene ei pruugi numbrist Ф midagi teada, kuid objektide struktuuris, nagu ka sündmuste jadas, leiab ta alateadlikult kuldlõike elemente.

On tehtud uuringuid, kus katsealustel paluti valida ja kopeerida erineva proportsiooniga ristkülikuid. Valikus oli kolm ristkülikut: ruut (40:40 mm), "kuldse lõigu" ristkülik kuvasuhtega 1:1,62 (31:50 mm) ja ristkülik piklike proportsioonidega 1:2,31 (26: 60 mm).

Tavalises olekus ristkülikuid valides eelistatakse 1/2 juhul ruutu. Parem poolkera eelistab kuldset suhet ja lükkab tagasi pikliku ristküliku. Vastupidi, vasak poolkera kaldub piklike proportsioonide poole ja lükkab tagasi kuldse lõike.

Nende ristkülikute kopeerimisel täheldati järgmist: kui parem ajupoolkera oli aktiivne, säilisid koopiate proportsioonid kõige täpsemalt; kui vasak poolkera oli aktiivne, olid kõigi ristkülikute proportsioonid moonutatud, ristkülikud venitati (ruut joonistati ristkülikuna küljesuhtega 1:1,2; venitatud ristküliku proportsioonid suurenesid järsult ja saavutasid 1:2,8 ). "Kuldse" ristküliku proportsioonid olid kõige tugevamalt moonutatud; selle proportsioonid koopiates muutusid ristküliku proportsioonideks 1:2.08.

Enda jooniste tegemisel domineerivad kuldsele lõikele lähedased ja piklikud proportsioonid. Keskmiselt on proportsioonid 1:2, samal ajal kui parem poolkera eelistab kuldlõike proportsioone, vasak poolkera eemaldub kuldlõike proportsioonidest ja venitab mustrit.

Nüüd joonistage mõned ristkülikud, mõõtke nende küljed ja leidke kuvasuhe. Milline poolkera sul on?

KULDSUHTE FOTOGRAAFIAS

Kuldse lõike kasutamise näide fotograafias on kaadri põhikomponentide asukoht punktides, mis asuvad 3/8 ja 5/8 kaadri servadest. Seda saab illustreerida järgmise näitega: foto kassist, kes asub kaadris suvalises kohas.

Nüüd jagame raami tinglikult segmentideks proportsioonis 1,62 raami mõlemalt küljelt kogupikkusest. Segmentide ristumiskohas asuvad peamised "visuaalsed keskused", kuhu tasub paigutada pildi vajalikud võtmeelemendid. Liigutame oma kassi "visuaalsete keskuste" punktidesse.

KULDSUHTE JA RUUM

Astronoomia ajaloost on teada, et 18. sajandi saksa astronoom I. Titius leidis seda seeriat kasutades Päikesesüsteemi planeetide vahekaugustes regulaarsuse ja korra.

Siiski üks juhtum, mis näis olevat seadusega vastuolus: Marsi ja Jupiteri vahel polnud planeeti. Selle taevapiirkonna keskendunud vaatlus viis asteroidivöö avastamiseni. See juhtus pärast Titiuse surma 19. sajandi alguses. Fibonacci seeriat kasutatakse laialdaselt: selle abil esindavad nad elusolendite arhitektoonikat ja tehislikke struktuure ning galaktikate struktuuri. Need faktid tõendavad numbriseeria sõltumatust selle avaldumistingimustest, mis on üks selle universaalsuse märke.

Galaktika kaks kuldset spiraali ühilduvad Taaveti tähega.

Pöörake tähelepanu galaktikast valges spiraalis väljuvatele tähtedele. Täpselt 180 0 ühest spiraalist tuleb välja teine ​​lahtikäiv spiraal ... Pikka aega uskusid astronoomid lihtsalt, et kõik, mis seal on, on see, mida me näeme; kui midagi on näha, siis see on olemas. Nad kas ei märganud Reaalsuse nähtamatut osa üldse või ei pidanud seda oluliseks. Aga nähtamatu pool meie Tegelikkus on tegelikult palju suurem kui nähtav pool ja ilmselt tähtsamgi... Ehk siis Reaalsuse nähtav osa on palju vähem kui üks protsent tervikust - peaaegu mitte midagi. Tegelikult on meie tõeline kodu nähtamatu universum...

Universumis eksisteerivad kõik inimkonnale teadaolevad galaktikad ja kõik neis olevad kehad spiraali kujul, mis vastab kuldlõike valemile. Meie galaktika spiraalis asub kuldne suhe

KOKKUVÕTE

Loodus, mida mõistetakse kogu maailmana selle vormide mitmekesisuses, koosneb justkui kahest osast: elavast ja elutust loodusest. Eluta looduse loomingut iseloomustab mastaabi järgi otsustades kõrge stabiilsus, vähene varieeruvus inimelu. Inimene sünnib, elab, vananeb, sureb, aga graniidimäed jäävad samaks ja planeedid tiirlevad ümber Päikese samamoodi nagu Pythagorase ajal.

Metsloomade maailm ilmub meie ette hoopis teistsugusena – mobiilse, muutliku ja üllatavalt mitmekesise. Elu näitab meile fantastilist loominguliste kombinatsioonide mitmekesisuse ja originaalsuse karnevali! Eluta looduse maailm on ennekõike sümmeetriamaailm, mis annab tema loomingule stabiilsuse ja ilu. Loodusmaailm on ennekõike harmooniamaailm, milles toimib “kuldlõike seadus”.

Kaasaegses maailmas on teadus erilise tähtsusega inimese suurenenud mõju tõttu loodusele. Praegusel etapil on olulised ülesanded inimese ja looduse kooseksisteerimise uute võimaluste otsimine, ühiskonna ees seisvate filosoofiliste, sotsiaalsete, majanduslike, hariduslike ja muude probleemide uurimine.

Selles töös käsitleti "kuldse lõigu" omaduste mõju elus- ja eluta loodusele, inimkonna ajaloo ja kogu planeedi ajaloolisele arengule. Kõike eelnevat analüüsides võib taas imestada maailma tunnetusprotsessi suursugusust, selle üha uute mustrite avastamist ja järeldada: kuldlõike põhimõte on maailma struktuurse ja funktsionaalse täiuslikkuse kõrgeim ilming. tervik ja selle osad kunstis, teaduses, tehnoloogias ja looduses. Võib eeldada, et erinevate loodussüsteemide arenguseadused, kasvuseadused ei ole väga mitmekesised ja neid saab jälgida kõige erinevamates moodustistes. See on looduse ühtsuse ilming. Sellise ühtsuse idee, mis põhineb samade mustrite ilmnemisel heterogeensetes loodusnähtustes, on säilitanud oma tähtsuse Pythagorasest tänapäevani.

Universumis on veel palju lahendamata mõistatusi, millest mõned on teadlased juba suutnud tuvastada ja kirjeldada. Fibonacci numbrid ja kuldlõige moodustavad aluse meid ümbritseva maailma lahtiharutamiseks, selle kuju ülesehitamiseks ja inimese poolt optimaalseks visuaalseks tajumiseks, mille abil tunneb ta ilu ja harmooniat.

kuldne suhe

Kuldlõike suuruse määramise printsiip on aluseks kogu maailma ja selle osade täiuslikkusele oma struktuuris ja funktsioonides, selle avaldumist võib näha looduses, kunstis ja tehnikas. Kuldse lõike doktriin rajati iidsete teadlaste arvude olemust käsitlevate uuringute tulemusena.

See põhineb segmentide jaotuste proportsioonide ja suhete teoorial, mille koostas iidne filosoof ja matemaatik Pythagoras. Ta tõestas, et lõigu jagamisel kaheks osaks: X (väiksem) ja Y (suurem) on suurema ja väiksema suhe võrdne nende (kogu segmendi) summa suhtega:

Tulemuseks on võrrand: x 2 - x - 1 = 0, mis on lahendatud kui x=(1±√5)/2.

Kui arvestada suhet 1/x, siis on see võrdne 1,618…

Tõendeid kuldlõike kasutamisest antiikmõtlejate poolt annab Eukleidese raamat "Algused", mis on kirjutatud tagasi 3. sajandil. eKr, kes kasutas seda reeglit tavaliste 5-nurgaliste konstrueerimiseks. Pythagoreanide seas peetakse seda figuuri pühaks, kuna see on nii sümmeetriline kui ka asümmeetriline. Pentagramm sümboliseeris elu ja tervist.

Fibonacci numbrid

Itaalia matemaatiku Leonardo Pisa kuulus raamat Liber abaci, kes hiljem sai tuntuks kui Fibonacci, ilmus aastal 1202. Selles annab teadlane esimest korda arvude mustri, mille reas iga arv on summa. kahest eelmisest numbrist. Fibonacci numbrite jada on järgmine:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 jne.

Teadlane tsiteeris ka mitmeid mustreid:

• Mis tahes arv seeriast, jagatud järgmisega, võrdub väärtusega, mis kipub olema 0,618. Pealegi ei anna esimesed Fibonacci numbrid sellist arvu, kuid jada algusest edasi liikudes muutub see suhe aina täpsemaks.
• Kui jagada seeria number eelmisega, kipub tulemuseks olema 1,618.
• Üks arv jagatud järgmisega näitab väärtust 0,382.

Kuldlõike, Fibonacci arvu (0,618) seose ja mustrite rakendust võib leida mitte ainult matemaatikas, vaid ka looduses, ajaloos, arhitektuuris ja ehituses ning paljudes teistes teadustes.

Archimedese spiraal ja kuldne ristkülik

Looduses väga levinud spiraale uuris Archimedes, kes isegi tuletas tema võrrandi. Spiraali kuju põhineb kuldse lõike seadustel. Kui see on lahti keeratud, saadakse pikkus, millele saab rakendada proportsioone ja Fibonacci numbreid, astme kasv toimub ühtlaselt.

Paralleeli Fibonacci arvude ja kuldse lõike vahel saab näha ka konstrueerides "kuldse ristküliku", mille küljed on võrdelised 1,618:1. Selle ehitamiseks liigutakse suuremalt ristkülikult väiksematele, nii et külgede pikkused on võrdsed rea arvudega. Selle ehitamist saab teha vastupidises järjekorras, alustades ruudust "1". Selle ristküliku nurkade ühendamisel nende ristumiskoha keskel olevate joontega saadakse Fibonacci või logaritmiline spiraal.

Kuldsete proportsioonide kasutamise ajalugu

Paljud Egiptuse iidsed arhitektuurimälestised püstitati kuldseid proportsioone kasutades: kuulsad Cheopsi püramiidid jt.Vana-Kreeka arhitektid kasutasid neid laialdaselt arhitektuuriobjektide ehitamisel, nagu templid, amfiteatrid, staadionid. Näiteks kasutati selliseid proportsioone iidse Parthenoni templi (Ateena) ja muude iidse arhitektuuri meistriteosteks kujunenud objektide ehitamisel, demonstreerides matemaatilisel korrektsusel põhinevat harmooniat.

Hilisematel sajanditel huvi kullalõike vastu vaibus ja mustrid ununesid, kuid taastusid taas renessansiajal koos frantsiskaani munga L. Pacioli di Borgo raamatuga "Jumalik proportsioon" (1509). See sisaldas Leonardo da Vinci illustratsioone, kes fikseerisid uue nime "kuldne lõik". Samuti olid teaduslikult tõestatud 12 kuldlõike omadust ning autor rääkis, kuidas see avaldub looduses, kunstis ning nimetas seda "maailma ja looduse ülesehitamise põhimõtteks".

Vitruviuse mees Leonardo

Joonisel, mille abil Leonardo da Vinci illustreeris Vitruviuse raamatut 1492. aastal, on kujutatud mehe kuju kahes asendis külgedele sirutatud kätega. Joonis on kirjutatud ringi ja ruudu sisse. Seda joonist peetakse inimkeha (meessoost) kanoonilisteks proportsioonideks, mida Leonardo kirjeldas nende uurimuse põhjal Rooma arhitekti Vitruviuse traktaatides.

Keha keskpunkt võrdsel kaugusel käte ja jalgade otsast on naba, käte pikkus võrdub inimese pikkusega, õlgade maksimaalne laius = 1/8 kõrgusest, kaugus rinna ülaosast karvani = 1/7, rinna ülaosast pea ülaosani = 1/6 jne.

Sellest ajast alates on joonist kasutatud sümbolina, mis näitab inimkeha sisemist sümmeetriat.

Leonardo kasutas terminit "kuldne suhe" proportsionaalsete suhete tähistamiseks inimfiguuris. Näiteks kaugus vööst jalgadeni on seotud sama kaugusega nabast pea ülaosani samamoodi nagu kõrgus esimese pikkuseni (vööst alla). See arvutus tehakse sarnaselt segmentide suhtega kuldse lõike arvutamisel ja kipub olema 1,618.

Kõiki neid harmoonilisi proportsioone kasutavad kunstnikud sageli kaunite ja muljetavaldavate teoste loomiseks.

Kuldlõike uurimused 16.-19

Kasutades kuldlõike ja Fibonacci numbreid, uurimistöö proportsioonide küsimus on kestnud rohkem kui ühe sajandi. Paralleelselt Leonardo da Vinciga arendas ka saksa kunstnik Albrecht Dürer inimkeha õigete proportsioonide teooriat. Selleks lõi ta isegi spetsiaalse kompassi.

16. sajandil Fibonacci numbri ja kuldlõike seose küsimus oli pühendatud astronoom I. Kepleri tööle, kes rakendas neid reegleid esmakordselt botaanikas.

Uus "avastus" ootas kuldlõiget 19. sajandil. saksa teadlase professor Zeisigi teose "Esteetilise uurimistöö" väljaandmisega. Ta tõstis need proportsioonid absoluutseks ja teatas, et need on universaalsed kõigi loodusnähtuste jaoks. Ta viis läbi tohutu hulga inimeste või õigemini nende kehaliste proportsioonide (umbes 2 tuhat) uuringuid, mille tulemusena tehti järeldused statistiliselt kinnitatud mustrite kohta erinevate kehaosade suhetes: õlgade pikkus, käsivarred. , käed, sõrmed jne.

Uuriti ka kunstiobjekte (vaasid, arhitektuursed struktuurid), muusikalisi toone, suurusi luuletuste kirjutamisel - seda kõike näitas Zeisig läbi segmentide ja numbrite pikkuste, ta võttis kasutusele ka mõiste "matemaatiline esteetika". Pärast tulemuste saamist selgus, et Fibonacci seeria on saadud.

Fibonacci arv ja kuldne suhe looduses

Taime- ja loomamaailmas on kalduvus moodustuda sümmeetria kujul, mida täheldatakse kasvu ja liikumise suunas. Jagamine sümmeetrilisteks osadeks, milles täheldatakse kuldseid proportsioone, on paljudele taimedele ja loomadele omane muster.

Meid ümbritsevat loodust saab kirjeldada näiteks Fibonacci numbrite abil:

• mis tahes taimede lehtede või okste paigutus, samuti kaugused on seotud antud arvude 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 jadaga;
• päevalilleseemned (käbidel olevad soomused, ananassirakud), mis on paigutatud kahes reas eri suundades keerdunud spiraalidena;
• sisaliku saba pikkuse ja kogu keha suhe;
• muna kuju, kui tõmmata tinglikult joon läbi selle laia osa;
• sõrmede suuruse suhe inimese käel.

Ja muidugi kõige rohkem huvitavaid kujundeid esindavad spiraalseid teokarpe, mustreid veebis, tuule liikumist orkaani sees, kaksikheeliksit DNA-s ja galaktikate struktuuri, mis kõik hõlmavad Fibonacci numbrijada.

Kuldse lõike kasutamine kunstis

Teadlased, kes otsivad näiteid kuldlõike kasutamisest kunstis, uurivad üksikasjalikult erinevaid arhitektuuriobjekte ja maale. Tuntud on kuulsad skulptuuritööd, mille loojad pidasid kinni kuldsetest proportsioonidest - Olümpose Zeusi, Apollo Belvedere ja

Üks Leonardo da Vinci loomingust - "Mona Lisa portree" - on olnud teadlaste uurimistöö objekt juba aastaid. Nad leidsid, et teose kompositsioon koosneb täielikult "kuldsetest kolmnurkadest", mis on ühendatud tavaliseks viisnurk-täheks. Kõik da Vinci teosed annavad tunnistust sellest, kui sügavad olid tema teadmised inimkeha ehitusest ja proportsioonidest, tänu millele suutis ta tabada Mona Lisa uskumatult salapärase naeratuse.

Kuldlõige arhitektuuris

Näiteks uurisid teadlased "kuldse lõigu" reeglite järgi loodud arhitektuurilisi meistriteoseid: Egiptuse püramiide, Panteoni, Parthenoni, Notre Dame de Paris'i katedraali, Püha Vassili katedraali jne.

Vana-Kreeka (5. saj eKr) üks kaunimaid ehitisi Parthenon on 8 sammast ja 17 eri külgedel, selle kõrguse ja külgede pikkuse suhe on 0,618. Selle fassaadide eendid on tehtud vastavalt "kuldsele lõigule" (foto allpool).

Üks teadlasi, kes leiutas ja edukalt rakendas arhitektuuriobjektide modulaarse proportsioonide süsteemi (nn "mooduli") täiustamist, oli prantsuse arhitekt Le Corbusier. Moodul põhineb mõõtesüsteemil, mis on seotud inimkeha osadeks tingliku jagamisega.

aastal seadusi kasutanud arhitektidest oli vene arhitekt M. Kazakov, kes ehitas Moskvasse mitu elamut, samuti senati hooned Kremlis ja Golitsõni haigla (praegune 1. N. I. Pirogovi nimeline kliinik). Kuldse lõike kujundus ja ehitus.

Proportsioonide rakendamine disainis

Moedisainis teevad kõik moeloojad uusi kujundeid ja modelle, võttes arvesse inimkeha proportsioone ja kuldlõike reegleid, kuigi loomult pole kõigil inimestel ideaalsed proportsioonid.

Maastikukujunduse kavandamisel ja taimede (puude ja põõsaste), purskkaevude ja väikeste arhitektuuriobjektide abil mahuliste pargikompositsioonide loomisel saab rakendada ka "jumalike proportsioonide" mustreid. Pargi kompositsioon peaks ju olema keskendunud külastajale mulje loomisele, kes saab seal vabalt liigelda ja kompositsioonilise keskuse üles leida.

Kõik pargi elemendid on sellistes proportsioonides, et geomeetrilise struktuuri, vastastikuse paigutuse, valgustuse ja valguse abil jätavad need inimesele harmoonia ja täiuslikkuse mulje.

Kuldlõike rakendamine küberneetikas ja tehnoloogias

Kuldlõike ja Fibonacci arvude seadused avalduvad ka energia üleminekutes, keemilisi ühendeid moodustavate elementaarosakestega toimuvates protsessides, kosmosesüsteemides, DNA geenistruktuuris.

Sarnased protsessid toimuvad ka inimkehas, väljendudes tema elu biorütmides, elundite, näiteks aju või nägemise tegevuses.

Kaasaegses küberneetikas ja informaatikas kasutatakse laialdaselt kuldsete proportsioonide algoritme ja mustreid. Üks mitte väljakutseid pakkuvad ülesanded, mis antakse algajatele programmeerijatele lahendamiseks - kirjutage valem ja määrake programmeerimiskeelte abil Fibonacci arvude summa kuni teatud arvuni.

Kaasaegne uurimus kuldse lõike teooriast

Alates 20. sajandi keskpaigast on huvi kuldsete proportsioonide seaduste probleemide ja mõju vastu inimelule järsult kasvanud ning paljude erinevate elukutsete teadlaste poolt: matemaatikud, etnoseuurijad, bioloogid, filosoofid, meditsiinitöötajad majandusteadlased, muusikud jne.

Alates 1970. aastatest on USA-s ilmunud The Fibonacci Quarterly, kus avaldatakse selleteemalisi teoseid. Ajakirjanduses ilmuvad teosed, milles kasutatakse erinevates teadmisteharudes kuldlõike ja Fibonacci seeria üldistatud reegleid. Näiteks teabe kodeerimiseks, keemilisteks uuringuteks, bioloogilisteks jne.

Kõik see kinnitab iidsete ja kaasaegsete teadlaste järeldusi, et kuldlõige on mitmepoolselt seotud teaduse fundamentaalsete küsimustega ning avaldub meid ümbritseva maailma paljude loomingute ja nähtuste sümmeetrilisuses.