Lühike teooria

Sündmuste kvantitatiivseks võrdlemiseks nende toimumise võimalikkuse astme järgi võetakse kasutusele numbriline mõõt, mida nimetatakse sündmuse tõenäosuseks. Juhusliku sündmuse tõenäosus nimetatakse arvu, mis on sündmuse toimumise objektiivse võimalikkuse mõõdu väljend.

Väärtusi, mis määravad, kui olulised on sündmuse toimumise objektiivsed põhjused, iseloomustab sündmuse tõenäosus. Tuleb rõhutada, et tõenäosus on objektiivne suurus, mis eksisteerib tunnetajast sõltumatult ja on tingitud sündmuste toimumist soodustavate tingimuste kogumikust.

Tõenäosuse mõistele antud selgitused ei ole matemaatiline definitsioon, kuna need ei defineeri seda mõistet kvantitatiivselt. Juhusliku sündmuse tõenäosuse määratlusi on mitmeid, mida kasutatakse laialdaselt konkreetsete probleemide lahendamisel (klassikaline, aksiomaatiline, statistiline jne).

Sündmuse tõenäosuse klassikaline määratlus taandab selle mõiste elementaarsemaks võrdselt tõenäoliste sündmuste kontseptsiooniks, mis ei allu enam defineerimisele ja mida eeldatakse intuitiivselt selgeks. Näiteks kui täring on homogeenne kuubik, on selle kuubiku mis tahes külje väljalangemine sama tõenäoline.

Olgu teatud sündmus jagatud võrdselt tõenäolisteks juhtudeks, mille summa annab sündmuse. See tähendab, et juhtumeid alates , milleks see laguneb, nimetatakse sündmuse jaoks soodsateks, kuna ühe neist ilmumine tagab ründamise.

Sündmuse tõenäosust tähistatakse sümboliga .

Sündmuse tõenäosus võrdub talle soodsate juhtumite arvu suhtega unikaalsete, võrdselt võimalike ja mitteühilduvate juhtumite koguarvust arvuga, s.o.

See on tõenäosuse klassikaline määratlus. Seega on sündmuse tõenäosuse leidmiseks vaja pärast testi erinevate tulemuste kaalumist leida ainuvõimalike, võrdselt võimalike ja mitteühilduvate juhtumite hulk, arvutada nende koguarv n, juhtumite arv m eelistage seda sündmust ja tehke seejärel arvutus ülaltoodud valemi järgi.

Sündmuse tõenäosust, mis võrdub sündmusele soodsa kogemuse tulemuste arvu ja kogemuse tulemuste koguarvu suhtega, nimetatakse klassikaline tõenäosus juhuslik sündmus.

Definitsioonist tulenevad järgmised tõenäosuse omadused:

Omadus 1. Teatud sündmuse tõenäosus on võrdne ühega.

Omadus 2. Võimatu sündmuse tõenäosus on null.

Omadus 3. Juhusliku sündmuse tõenäosus on positiivne arv nulli ja ühe vahel.

Omadus 4. Täieliku rühma moodustavate sündmuste toimumise tõenäosus on võrdne ühega.

Omadus 5. Vastupidise sündmuse toimumise tõenäosus on määratletud samamoodi nagu sündmuse A toimumise tõenäosus.

Juhtumite arv, mis soodustavad vastupidise sündmuse toimumist. Seega on vastupidise sündmuse toimumise tõenäosus võrdne ühtsuse ja sündmuse A toimumise tõenäosuse vahega:

Sündmuse tõenäosuse klassikalise definitsiooni oluliseks eeliseks on see, et selle abil saab sündmuse tõenäosust määrata ilma kogemust kasutamata, vaid loogilise arutluse alusel.

Kui tingimused on täidetud, siis teatud sündmus kindlasti juhtub ja võimatut kindlasti ei juhtu. Sündmuste hulgas, mis tingimuste kompleksi loomisel võivad toimuda või mitte, võib mõne ilmnemisele arvestada rohkem, teiste ilmnemisele vähem põhjusega. Kui näiteks valgeid palle on urnis rohkem kui musti, siis juhuslikult urnist välja võttes on rohkem põhjust loota valge palli ilmumisele kui musta palli ilmumisele.

Probleemilahenduse näide

Näide 1

Karbis on 8 valget, 4 musta ja 7 punast palli. Juhuslikult loositakse 3 palli. Leia järgmiste sündmuste tõenäosused: - on tõmmatud vähemalt 1 punane pall, - on vähemalt 2 sama värvi palli, - on vähemalt 1 punane ja 1 valge pall.

Probleemi lahendus

Testitulemuste koguarvu leiame 19 (8 + 4 + 7) elemendi kombinatsioonide arvuna, millest igaüks on 3:

Leidke sündmuse tõenäosus– tõmmatud vähemalt 1 punane pall (1,2 või 3 punast palli)

Nõutav tõenäosus:

Las sündmus- seal on vähemalt 2 sama värvi palli (2 või 3 valget palli, 2 või 3 musta palli ja 2 või 3 punast palli)

Sündmust soodustavate tulemuste arv:

Nõutav tõenäosus:

Las sündmus– on vähemalt üks punane ja üks valge pall

(1 punane, 1 valge, 1 must või 1 punane, 2 valget või 2 punast, 1 valge)

Sündmust soodustavate tulemuste arv:

Nõutav tõenäosus:

Vastus: P(A)=0,773; P(C)=0,7688; P(D) = 0,6068

Näide 2

Visatakse kaks täringut. Leidke tõenäosus, et punktide summa on vähemalt 5.

Lahendus

Olgu sündmuseks punktide summa, mis ei ole väiksem kui 5

Kasutame klassikalist tõenäosuse määratlust:

Võimalike katsetulemuste koguarv

Katsete arv, mis soosivad meid huvitavat sündmust

Esimese täringu mahavisatud näol võib ilmuda üks punkt, kaks punkti ..., kuus punkti. samamoodi on teisel täringuviskel võimalikud kuus tulemust. Iga esimese täringu tulemust saab kombineerida teise iga tulemusega. Seega on testi võimalike elementaarsete tulemuste koguarv võrdne kordustega paigutuste arvuga (valik 2 elemendi paigutusega 6. mahu komplektist):

Leidke vastupidise sündmuse tõenäosus – punktide summa on väiksem kui 5

Sündmust soodustavad järgmised väljalangenud punktide kombinatsioonid:

Esitatakse tõenäosuse geomeetriline definitsioon ja antakse lahendus tuntud kohtumisülesandele.

Ärgem mõelgem pikalt kõrgele – alustame kohe definitsiooniga.

Bernoulli skeem on siis, kui tehakse n sama tüüpi sõltumatut katset, millest igaühes võib ilmneda meile huvipakkuv sündmus A ja selle sündmuse tõenäosus on teada P (A) \u003d p. On vaja kindlaks määrata tõenäosus, et sündmus A toimub täpselt k korda n katse jooksul.

Bernoulli skeemi järgi lahendatavad ülesanded on äärmiselt mitmekesised: lihtsatest (näiteks "leia tõenäosus, et laskur tabab 1 kord 10-st") kuni väga raskete ülesanneteni (näiteks ülesanded protsentide või mängukaardid). Tegelikkuses kasutatakse seda skeemi sageli toodete kvaliteedikontrolli ja töökindlusega seotud probleemide lahendamiseks. erinevaid mehhanisme, mille kõik omadused peavad olema teada enne tööle asumist.

Lähme tagasi definitsiooni juurde. Kuna me räägime sõltumatutest katsetest ja igas katses on sündmuse A tõenäosus sama, on võimalikud ainult kaks tulemust:

1. A on sündmuse A toimumine tõenäosusega p;
2. "mitte A" - sündmust A ei ilmnenud, mis juhtub tõenäosusega q = 1 − p.

Kõige olulisem tingimus, ilma milleta Bernoulli skeem kaotab oma tähenduse, on püsivus. Ükskõik kui palju katseid me ka ei teeks, oleme huvitatud samast sündmusest A, mis toimub sama tõenäosusega p.

Muide, kõiki tõenäosusteooria probleeme ei saa taandada konstantsetele tingimustele. Iga pädev kõrgema matemaatika juhendaja räägib teile sellest. Isegi midagi nii lihtsat nagu eemaldamine värvilised õhupallid karbist välja võetud, ei ole eksperiment pidevate tingimustega. Nad võtsid välja veel ühe palli – värvide suhe kastis muutus. Seetõttu on ka tõenäosused muutunud.

Kui tingimused on konstantsed, saab täpselt määrata tõenäosuse, et sündmus A toimub täpselt k korda n-st võimalikust. Sõnastame selle fakti teoreemi kujul:

Bernoulli teoreem. Olgu sündmuse A toimumise tõenäosus igas katses konstantne ja võrdne p-ga. Seejärel arvutatakse valemiga tõenäosus, et n sõltumatus katses ilmub sündmus A täpselt k korda:

kus C n k on kombinatsioonide arv, q = 1 − p.

Seda valemit nimetatakse Bernoulli valemiks. Huvitav on märkida, et alltoodud probleemid lahendatakse täielikult ilma seda valemit kasutamata. Näiteks saate rakendada tõenäosuse liitmise valemeid. Arvutuste maht on aga lihtsalt ebareaalne.

Ülesanne. Tõenäosus, et masinal tekib defektne toode, on 0,2. Määrake tõenäosus, et antud masinal toodetud kümnest detailist koosnevas partiis on täpselt k defektideta. Lahendage ülesanne k = 0, 1, 10 korral.

Tingimuse järgi huvitab meid defektideta toodete vabastamise sündmus A, mis juhtub iga kord tõenäosusega p = 1 − 0,2 = 0,8. Peame määrama tõenäosuse, et see sündmus toimub k korda. Sündmus A vastandub sündmusele “mitte A”, st. defektse toote tootmine.

Seega on meil: n = 10; p = 0,8; q = 0,2.

Seega leiame tõenäosuse, et kõik partii osad on defektsed (k = 0), et ainult üks osa on defektne (k = 1) ja defektseid osi pole üldse (k = 10):

Ülesanne. Münti visatakse 6 korda. Sama tõenäoline on vapi ja saba kadumine. Leidke tõenäosus, et:

1. vapp langeb kolm korda;
2. vapp langeb üks kord;
3. vapp ilmub vähemalt kaks korda.

Niisiis, meid huvitab sündmus A, kui vapp langeb. Selle sündmuse tõenäosus on p = 0,5. Sündmusele A vastandub sündmus “mitte A”, kui see tekib sabad, mis juhtub tõenäosusega q = 1 − 0,5 = 0,5. Tuleb määrata tõenäosus, et vapp kukub välja k korda.

Seega on meil: n = 6; p = 0,5; q = 0,5.

Määrame tõenäosuse, et vapp kukkus välja kolm korda, s.o. k = 3:

Nüüd määrame tõenäosuse, et vapp kukkus välja vaid korra, s.o. k = 1:

Jääb veel kindlaks teha, kui suure tõenäosusega kukub vapp välja vähemalt kaks korda. Peamine tõrge on fraasis "mitte vähem". Selgub, et meile sobib iga k, välja arvatud 0 ja 1, s.t. peate leidma summa X \u003d P 6 (2) + P 6 (3) + ... + P 6 (6).

Pange tähele, et see summa võrdub ka (1 − P 6 (0) − P 6 (1)), s.o. kõigist võimalikest variantidest piisab, kui “välja lõigata” need, mil vapp kukkus välja 1 korra (k = 1) või ei kukkunud üldse välja (k = 0). Kuna P 6 (1) me juba teame, jääb üle leida P 6 (0):

Ülesanne. Tõenäosus, et teleris on varjatud defekte, on 0,2. Ladu sai 20 telerit. Kumb sündmus on tõenäolisem: kas selles partiis on kaks varjatud defektidega telerit või kolm?

Huvipakkuv sündmus A on varjatud defekti olemasolu. Telereid kokku n = 20, varjatud defekti tõenäosus p = 0,2. Vastavalt sellele on tõenäosus saada teler ilma varjatud defektita q = 1 − 0,2 = 0,8.

Bernoulli skeemi lähtetingimused saame: n = 20; p = 0,2; q = 0,8.

Leiame kahe "defektse" teleri (k = 2) ja kolme (k = 3) saamise tõenäosuse:

\[\begin(massiivi)(l)(P_(20))\left(2 \right) = C_(20)^2(p^2)(q^(18)) = \frac((20)}{{2!18!}} \cdot {0,2^2} \cdot {0,8^{18}} \approx 0,137\\{P_{20}}\left(3 \right) = C_{20}^3{p^3}{q^{17}} = \frac{{20!}}{{3!17!}} \cdot {0,2^3} \cdot {0,8^{17}} \approx 0,41\end{array}\]!}

Ilmselgelt P 20 (3) > P 20 (2), s.o. tõenäosus saada kolm varjatud defektidega telerit on tõenäolisemalt ainult kaks sellist telerit. Pealegi pole erinevus nõrk.

Väike märkus faktoriaalide kohta. Paljud inimesed kogevad ebamäärast ebamugavustunnet, kui nad näevad kirjet "0!" (loe "nullfaktoriaal"). Niisiis, 0! = 1 definitsiooni järgi.

P. S. Ja kõige suurem tõenäosus viimases ülesandes on saada neli varjatud defektidega telerit. Arvutage ja vaadake ise.

1. Valemid sündmuste tõenäosuse arvutamiseks

1.3.1. Sõltumatute katsete järjestus (Bernoulli skeem)

Oletame, et mõnda katset saab teha korduvalt samadel tingimustel. Las see kogemus sünnib n korda, st jada n testid.

Definitsioon. Järjekord n teste nimetatakse vastastikku sõltumatud kui mõni antud testiga seotud sündmus on sõltumatu teiste testidega seotud sündmustest.

Ütleme, et mingi sündmus A tõenäoliselt juhtub lkühe testi tulemusena või ei juhtu suure tõenäosusega q= 1- lk.

Definitsioon . Järjekord n test moodustab Bernoulli skeemi, kui on täidetud järgmised tingimused:

järeljada n testid on üksteisest sõltumatud,

2) sündmuse tõenäosus A ei muutu testiti ja ei sõltu teiste testide tulemusest.

Sündmus A nimetatakse testi "edusaamiseks" ja vastupidist sündmust "ebaõnnestumiseks". Mõelge sündmusele

=( sisse n testid toimusid täpselt m"edu").

Selle sündmuse tõenäosuse arvutamiseks kehtib Bernoulli valem

lk() =
, m = 1, 2, …, n , (1.6)

kus - kombinatsioonide arv n elemendid poolt m :

=
=
.

Näide 1.16. Viska täringut kolm korda. Leia:

a) tõenäosus, et 6 punkti kukub kaks korda välja;

b) tõenäosus, et kuue arv ei esine rohkem kui kaks korda.

Lahendus . Testi õnnestunuks loetakse 6 punkti kujutisega matriitsil oleva näo kaotus.

a) Testide koguarv – n=3, õnnestumiste arv – m = 2. "Edu" tõenäosus - lk=, ja "ebaõnnestumise" tõenäosus - q= 1 - =. Siis on Bernoulli valemi järgi tõenäosus, et kuue punktiga pool kukub kaks korda välja täringu kolmekordsel viskamisel

.

b) Tähistage AGA sündmus, et 6 punktiga nägu ilmub kõige rohkem kaks korda. Siis saab sündmust kujutada kui summad kolm kokkusobimatud sündmused A=
,

kus AT 3 0 – sündmus, kui huvipakkuvat nägu ei ilmu kunagi,

AT 3 1 - sündmus, kui huvipakkuv nägu ilmub üks kord,

AT 3 2 - sündmus, kui huvipakkuv nägu ilmub kaks korda.

Bernoulli valemiga (1.6) leiame

lk(AGA) = p(
) = lk(
)=
+
+
=

=
.

1.3.2. Sündmuse tingimuslik tõenäosus

Tingimuslik tõenäosus peegeldab ühe sündmuse mõju teise sündmuse tõenäosusele. Mõjutab ka katse läbiviimise tingimuste muutmine

huvipakkuva sündmuse toimumise tõenäosus.

Definitsioon. Lase A ja B- mõned sündmused ja tõenäosus lk(B)> 0.

Tingimuslik tõenäosus arenguid A tingimusel, et "sündmus Bjuba juhtus” on nende sündmuste esilekutsumise tõenäosuse ja sündmuse tõenäosuse suhe, mis leidis aset varem kui sündmus, mille tõenäosust tuleb leida. Tingimuslik tõenäosus on tähistatud kui lk(A B). Siis definitsiooni järgi

lk (A  B) =
. (1.7)

Näide 1.17. Viska kaks täringut. Elementaarsündmuste ruum koosneb järjestatud arvupaaridest

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6).

Näites 1.16 leiti, et sündmus A=(punktide arv esimesel täringul > 4) ja sündmus C=(punktide summa on 8) on sõltuvad. Teeme suhte

.

Seda suhet saab tõlgendada järgmiselt. Oletame, et teadaolevalt on esimese täringu tulemuseks see, et punktide arv esimesel täringul on > 4. Sellest järeldub, et teise täringu viskamine võib viia üheni 12 tulemusest, mis moodustavad sündmuse A:

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) .

Samal ajal üritus C ainult kaks neist (5.3) (6.2) võivad sobida. Sel juhul sündmuse tõenäosus C on võrdne
. Seega teave sündmuse toimumise kohta A mõjutas sündmuse tõenäosust C.

Sündmuste tekitamise tõenäosus

Korrutusteoreem

Sündmuste tekitamise tõenäosusA 1 A 2  A n määratakse valemiga

lk(A 1 A 2  A n)=p(A 1)lk(A 2  A 1)) lk(A n  A 1 A 2  A n- 1). (1.8)

Kahe sündmuse tulemusel järeldub sellest

lk(AB)=p(A B) p{B)=p(B A)lk{A). (1.9)

Näide 1.18. 25 kaubast koosnevas partiis 5 eset on defektsed. 3 eset valitakse juhuslikult. Määrake tõenäosus, et kõik valitud tooted on defektsed.

Lahendus. Tähistame sündmusi:

A 1 = (esimene toode on defektne),

A 2 = (teine ​​toode on defektne),

A 3 = (kolmas toode on defektne),

A = (kõik tooted on defektsed).

Sündmus AGA on kolme sündmuse tulemus A = A 1 A 2 A 3 .

Korrutusteoreemist (1.6) saame

lk(A)= p( A 1 A 2 A 3 ) = lk(A 1) lk(A 2  A 1))lk(A 3  A 1 A 2).

Tõenäosuse klassikaline määratlus võimaldab meil leida lk(A 1) on defektsete toodete arvu ja toodete koguarvu suhe:

lk(A 1)= ;

lk(A 2) – see on pärast ühe toote kõrvaldamist allesjäänud defektsete toodete arvu suhe koguarvülejäänud üksused:

lk(A 2  A 1))= ;

lk(A 3) on kahe defektse toote kõrvaldamise järel allesjäänud defektsete toodete arvu suhe ülejäänud toodete koguarvusse:

lk(A 3  A 1 A 2)=.

Siis sündmuse tõenäosus A on võrdne

lk(A) ==
.

ontoloogilise kategooriana peegeldab mis tahes entiteedi tekkimise võimalikkuse mõõdet mis tahes tingimustes. Vastupidiselt selle mõiste matemaatilisele ja loogilisele tõlgendusele ei seosta ontoloogiline V. end kvantitatiivse väljenduse vajalikkusega. V. väärtus avaldub determinismi ja laiemalt arengu olemuse mõistmise kontekstis.

Suurepärane määratlus

Mittetäielik määratlus ↓

TÕENÄOSUS

mõiste, mis iseloomustab suurusi. teatud sündmuse teatud toimumise võimaluse mõõt. tingimused. Teaduslikus teadmisi on kolm tõlgendust V. Klassikaline mõiste V., mis tekkis matemaatilisest. analüüs hasartmängud ja kõige täielikumalt välja töötatud B. Pascali, J. Bernoulli ja P. Laplace’i poolt, peab V. soodsate juhtumite arvu suhteks kõigi võrdselt võimalikuks. Näiteks täringu viskamisel, millel on 6 külge, võib eeldada, et igaüks neist saab V-ga, mis on võrdne 1/6-ga, kuna kummalgi poolel pole teise ees eeliseid. Sellist kogemuste tulemuste sümmeetriat võetakse mängude korraldamisel eriti arvesse, kuid teaduse ja praktika objektiivsete sündmuste uurimisel on see suhteliselt haruldane. Klassikaline V. tõlgendus andis teed statistilisele. V. mõisted, mille keskmes kehtivad. teatud sündmuse ilmnemise jälgimine kestuse jooksul. kogemus täpselt kindlaksmääratud tingimustel. Praktika kinnitab, et mida sagedamini sündmus aset leiab, seda suurem on selle toimumise objektiivse võimaluse aste ehk V. Seetõttu on statistiline. V. tõlgendus põhineb suhestumise mõistel. sagedusi, saab lõike määrata empiiriliselt. V. kui teoreetiline. mõiste ei lange kunagi kokku empiiriliselt määratud sagedusega, kuid paljuski. juhtudel erineb see sugulasest praktiliselt vähe. kestuse tulemusena leitud sagedus. tähelepanekud. Paljud statistikud peavad V. "topelt" viitab. sagedus, serv määratakse statistilise. vaatlustulemuste uurimine

või katsed. Vähem realistlik oli V. määratlus, kuna piir on seotud. R. Misesi pakutud massiürituste või kollektiivide sagedused. Nagu edasine areng sageduskäsitlus V.-le esitab V. dispositsioonilise või kalduvuse tõlgenduse (K. Popper, J. Hecking, M. Bunge, T. Setl). Selle tõlgenduse järgi iseloomustab V. näiteks tingimuste genereerimise omadust. katse. installimine, et saada massiliste juhuslike sündmuste jada. Just selline suhtumine tekitabki füüsilise dispositsioone ehk eelsoodumusi, V. to-rykh saab kontrollida suhtelise abil. sagedused.

Statistiline V. tõlgendus domineerib teadusliku üle. teadmisi, sest see peegeldab spetsiifilist. juhusliku iseloomuga massinähtustele omaste mustrite olemus. Paljudes füüsilistes, bioloogilistes, majanduslikes, demograafilistes ja muud sotsiaalsed protsessid, on vaja arvestada paljude juhuslike tegurite toimega, to-rukki iseloomustab stabiilne sagedus. Selle stabiilse sageduse ja koguste tuvastamine. selle hindamine V. abil võimaldab paljastada vajalikkuse, mis läbib paljude õnnetuste kumulatiivse toime. Siin saab avalduse juhuse vajaduseks muutumise dialektika (vt F. Engels, raamatus: K. Marx ja F. Engels, Soch., kd. 20, lk. 535-36).

Loogiline või induktiivne arutluskäik iseloomustab mittedemonstratiivse ja eriti induktiivse arutluse eelduste ja järelduste vahelist suhet. Erinevalt deduktsioonist ei taga induktsiooni eeldused järelduse õigsust, vaid muudavad selle ainult enam-vähem usutavaks. Seda usaldusväärsust, täpselt sõnastatud eeldustega, saab mõnikord hinnata V abil. Selle V väärtus määratakse enamasti võrdlemise teel. mõisted (suurem kui, väiksem või võrdne) ja mõnikord ka arvuliselt. Loogika tõlgendust kasutatakse sageli induktiivse arutluse ja konstrueerimise analüüsimiseks erinevaid süsteeme tõenäosusloogika (R. Carnap, R. Jeffrey). Semantikas loogilised mõisted. V. on sageli määratletud kui ühe väite kinnitusaste teiste poolt (näiteks selle empiiriliste andmete hüpotees).

Seoses otsustamise ja mängude teooriate arenguga nn. V. personalistlik tõlgendus. Kuigi V. väljendab samal ajal subjekti uskumuse astet ja teatud sündmuse toimumist, tuleb V. ise valida nii, et V. arvutamise aksioomid oleksid täidetud. Seetõttu väljendab V. sellise tõlgendusega mitte niivõrd subjektiivse kui ratsionaalse usu astet . Järelikult on sellise V. põhjal tehtud otsused ratsionaalsed, kuna ei arvesta psühholoogilist. subjekti omadused ja kalduvused.

Epistemoloogilisest t. sp. erinevus statistilise., loogiline. ja personalistlikud V.-tõlgendused seisnevad selles, et kui esimene iseloomustab juhusliku iseloomuga massinähtuste objektiivseid omadusi ja suhteid, siis kaks viimast analüüsivad subjektiivse, tunnetusliku tunnuseid. inimtegevus ebakindluse tingimustes.

TÕENÄOSUS

üks olulisemaid teaduse mõisteid, mis iseloomustab erilist süsteemset nägemust maailmast, selle struktuurist, evolutsioonist ja tunnetusest. Tõenäosusliku maailmavaate spetsiifilisus ilmneb arvusse kaasamise kaudu põhimõisted juhuslikkuse, sõltumatuse ja hierarhia mõistete olemasolu (tasandite ideed süsteemide struktuuris ja määratluses).

Ideed tõenäosuse kohta tekkisid juba antiikajast ja olid seotud meie teadmiste omadustega, samas tunnistati tõenäosusteadmiste olemasolu, mis erinevad usaldusväärsetest teadmistest ja valedest. Tõenäosuse idee mõju teaduslikule mõtlemisele, teadmiste arengule on otseselt seotud tõenäosusteooria kui matemaatilise distsipliini arenguga. Matemaatilise tõenäosusdoktriini tekkelugu ulatub 17. sajandisse, mil kujunes välja mõistete tuum, mis võimaldab. kvantitatiivsed (numbrilised) tunnused ja tõenäosusliku idee väljendamine.

Tõenäosuse intensiivsed rakendused teadmiste arendamiseks langevad 2. korrusele. 19- 1. korrus. 20. sajandil Tõenäosus on sisenenud selliste loodusteaduste alusteaduste struktuuridesse nagu klassikaline statistiline füüsika, geneetika, kvantteooria, küberneetika (infoteooria). Seetõttu personifitseerib tõenäosus seda etappi teaduse arengus, mida praegu määratletakse kui mitteklassikalist teadust. Tõenäosusliku mõtteviisi uudsuse, tunnuste paljastamiseks tuleb lähtuda tõenäosusteooria ainese ja selle paljude rakenduste aluste analüüsist. Tõenäosusteooriat defineeritakse tavaliselt kui matemaatilist distsipliini, mis uurib massiliste juhuslike nähtuste seadusi teatud tingimustel. Juhuslikkus tähendab seda, et massilise iseloomu raames ei sõltu iga elementaarnähtuse olemasolu teiste nähtuste olemasolust ega määra seda. Samal ajal on nähtuste massilisus stabiilse struktuuriga, sisaldab teatud seaduspärasusi. Massinähtus jaguneb üsna rangelt alamsüsteemideks ja elementaarnähtuste suhteline arv igas alamsüsteemis (suhteline sagedus) on väga stabiilne. Seda stabiilsust võrreldakse tõenäosusega. Massinähtust tervikuna iseloomustab tõenäosuste jaotus, st alamsüsteemide ja neile vastavate tõenäosuste määramine. Tõenäosusteooria keel on tõenäosusjaotuste keel. Seetõttu defineeritakse tõenäosusteooriat kui abstraktset jaotustega opereerimise teadust.

Tõenäosus tekitas teaduses ideid statistiliste seaduspärasuste ja statistikasüsteemide kohta. Hiljutine essents sõltumatutest või kvaasi-sõltumatutest üksustest moodustatud süsteemid, nende struktuuri iseloomustavad tõenäosusjaotused. Kuidas on aga võimalik moodustada süsteeme sõltumatutest üksustest? Tavaliselt eeldatakse, et terviklike omadustega süsteemide moodustamiseks on vajalik, et nende elementide vahel oleks piisavalt stabiilsed sidemed, mis süsteeme tsementeerivad. Statistiliste süsteemide stabiilsuse annavad välistingimuste, väliskeskkonna, väliste, mitte sisemiste jõudude olemasolu. Juba tõenäosuse määratlus põhineb alati algmassi nähtuse kujunemise tingimuste seadmisel. Teine oluline idee, mis iseloomustab tõenäosuslikku paradigmat, on hierarhia (alluvuse) idee. See idee väljendab omaduste vahelist seost üksikud elemendid ja süsteemide terviklikud omadused: viimased näivad olevat üles ehitatud esimeste peale.

Tõenäosuslike meetodite tähtsus tunnetuses seisneb selles, et need võimaldavad meil uurida ja teoreetiliselt väljendada hierarhilise, "kahetasandilise" struktuuriga objektide ja süsteemide struktuuri- ja käitumismustreid.

Tõenäosuse olemuse analüüs põhineb selle sagedusel, statistilisel tõlgendusel. Samas väga kaua aega teaduses domineeris selline tõenäosuse mõistmine, mida nimetati loogiliseks ehk induktiivseks tõenäosuseks. Loogilist tõenäosust huvitavad küsimused eraldiseisva, individuaalse otsuse kehtivuse kohta teatud tingimustel. Kas induktiivse järelduse (hüpoteetilise järelduse) kinnitusastet (usaldusväärsust, tõesust) on võimalik hinnata kvantitatiivsel kujul? Tõenäosusteooria kujunemise käigus arutati selliseid küsimusi korduvalt ja hakati rääkima hüpoteetiliste järelduste kinnitusastmetest. Selle tõenäosuse mõõdiku määrab saadaolev see inimene teavet, tema kogemusi, maailmavaateid ja psühholoogilist mõtteviisi. Kõigil sellistel juhtudel ei saa tõenäosuse suurust rangelt mõõta ja see jääb praktiliselt väljapoole tõenäosusteooria kui järjepideva matemaatilise distsipliini pädevust.

Tõenäosuse objektiivne sagedustõlgendus loodi teaduses märkimisväärsete raskustega. Esialgu arusaam tõenäosuse olemusest oli tugev mõju need filosoofilised ja metodoloogilised vaated, mis olid iseloomulikud klassikalisele teadusele. Ajalooliselt toimus tõenäosuslike meetodite kujunemine füüsikas mehaanikaideede otsustava mõju all: statistilisi süsteeme käsitleti lihtsalt kui mehaanilisi. Kuna vastavaid probleeme mehaanika rangete meetoditega ei lahendatud, tekkisid väited, et tõenäosuslikele meetoditele ja statistilistele seaduspärasustele apelleerimine on meie teadmiste puudulikkuse tagajärg. Klassikalise statistilise füüsika kujunemisloos on tehtud arvukalt katseid seda klassikalise mehaanika alusel põhjendada, kuid need kõik ebaõnnestusid. Tõenäosuse aluseks on see, et see väljendab teatud klassi süsteemide struktuuri tunnuseid, välja arvatud mehaanikasüsteemid: nende süsteemide elementide olekut iseloomustab ebastabiilsus ja interaktsioonide eriline (mehaanikale mitte taandatav) iseloom. .

Tõenäosuse sisenemine tunnetusse viib jäiga determinismi kontseptsiooni eitamiseni, klassikalise teaduse kujunemisprotsessis välja töötatud olemise ja tunnetuse põhimudeli eitamiseni. Statistiliste teooriate põhimudelid on teistsugused, rohkem üldine iseloom: need hõlmavad juhuslikkuse ja sõltumatuse ideid. Tõenäosuse idee on seotud objektide ja süsteemide sisemise dünaamika avalikustamisega, mida ei saa täielikult kindlaks teha. välised tingimused ja asjaolud.

Tõenäosusliku maailmanägemuse kontseptsioon, mis põhineb iseseisvuse ideede absolutiseerimisel (nagu varem, jäiga määramise paradigma), on nüüd paljastanud oma piirangud, mis mõjutavad üleminekut kõige tugevamalt. kaasaegne teadus keeruliste süsteemide ning iseorganiseerumisnähtuste füüsikaliste ja matemaatiliste aluste uurimise analüütilistesse meetoditesse.

Suurepärane määratlus

Mittetäielik määratlus ↓

Esimene tase

Tõenäosusteooria. Probleemide lahendamine (2019)

Mis on tõenäosus?

Selle terminiga esimest korda silmitsi seistes ei saaks ma aru, mis see on. Nii et ma püüan arusaadavalt selgitada.

Tõenäosus on võimalus, et soovitud sündmus leiab aset.

Näiteks otsustasite sõbrale külla minna, mäletate sissepääsu ja isegi põrandat, millel ta elab. Aga unustasin ära korteri numbri ja asukoha. Ja siin sa seisad trepikoda, ja teie ees on uks, mille vahel valida.

Kui suur on võimalus (tõenäosus), et kui helistate esimest uksekella, avab teie sõber selle teile? Terve korter ja sõber elab ainult ühe taga. Võrdsete võimalustega saame valida mis tahes ukse.

Aga mis see võimalus on?

uksed, soovitud uks. Tõenäosus arvata esimest ust helistades: . See tähendab, et üks kord kolmest arvate kindlasti ära.

Tahame ühe korra helistades teada, kui tihti me ust ära arvame? Vaatame kõiki võimalusi:

1. sa helistasid 1 Uks
2. sa helistasid 2 Uks
3. sa helistasid 3 Uks

Ja nüüd kaaluge kõiki võimalusi, kus sõber võib olla:

a. Per 1 uks
b. Per 2 uks
sisse. Per 3 uks

Võrdleme kõiki võimalusi tabeli kujul. Linnuke tähistab valikuid, kui teie valik kattub sõbra asukohaga, rist - kui see ei ühti.

Kuidas sa kõike näed Võib olla valikuid sõbra asukoht ja teie valik, millisele uksele helistada.

AGA kõigile soodsaid tulemusi . See tähendab, et kellaajad aimavad ühe korra uksele helistades, s.t. .

See on tõenäosus - soodsa tulemuse (kui teie valik langes kokku sõbra asukohaga) ja võimalike sündmuste arvu suhe.

Määratlus on valem. Tõenäosust tähistatakse tavaliselt p-ga, seega:

Sellise valemi kirjutamine pole eriti mugav, seega võtame - soodsate tulemuste arvu ja - tulemuste koguarvu.

Tõenäosuse saab kirjutada protsentides, selleks peate saadud tulemuse korrutama järgmisega:

Ilmselt jäi teile silma sõna "tulemused". Sest matemaatikud kutsuvad erinevaid tegevusi(meil on selline tegevus – see on uksekell) katseid, siis selliste katsete tulemust nimetatakse tavaliselt tulemuseks.

Noh, tulemused on soodsad ja ebasoodsad.

Läheme tagasi meie näite juurde. Oletame, et helistasime ühele uksele, kuid see avati meile võõras. Me ei arvanud. Kui suur on tõenäosus, et kui helistame mõnele allesjäänud uksele, avab meie sõber selle meile?

Kui te nii arvasite, on see viga. Selgitame välja.

Meil on jäänud kaks ust. Seega on meil võimalikud sammud:

1) Helista 1 Uks
2) Helista 2 Uks

Sõber, kõige selle juures, on kindlasti ühe neist taga (lõppude lõpuks ei olnud ta selle taga, kellele me helistasime):

a) sõber 1 uks
b) sõber 2 uks

Joonistame tabeli uuesti:

Nagu näete, on kõik võimalused, millest - soodsad. See tähendab, et tõenäosus on võrdne.

Miks mitte?

Olukord, mida oleme kaalunud, on näide sõltuvatest sündmustest. Esimene sündmus on esimene uksekell, teine ​​sündmus on teine ​​uksekell.

Ja neid nimetatakse sõltuvateks, kuna need mõjutavad järgmisi toiminguid. Lõppude lõpuks, kui sõber avab ukse pärast esimest helinat, siis kui suur on tõenäosus, et ta on kahest teisest taga? Õigesti,.

Aga kui on sõltuvad sündmused, siis peavadki olema sõltumatu? Tõsi, neid on.

Õpiku näide on mündi viskamine.

1. Viskame mündi. Kui suur on tõenäosus, et näiteks pead tulevad üles? Täpselt nii – kuna valikuvõimalused kõige jaoks (kas pea või saba, jätame tähelepanuta mündi löögi tõenäosuse), aga sobivad ainult meile.
2. Aga sabad kukkusid välja. Olgu, teeme seda uuesti. Kui suur on tõenäosus, et nüüd pähe tuleb? Midagi pole muutunud, kõik on endine. Mitu võimalust? Kaks. Kui palju me rahul oleme? Üks.

Ja las sabad kukuvad välja vähemalt tuhat korda järjest. Peade korraga kukkumise tõenäosus on sama. Alati on valikuid, aga soodsaid.

Sõltuvate sündmuste eristamine sõltumatutest sündmustest on lihtne:

1. Kui katse tehakse üks kord (korra visatakse münt, heliseb uksekell jne), siis on sündmused alati sõltumatud.
2. Kui katset tehakse mitu korda (münti visatakse üks kord, uksekella helistatakse mitu korda), on esimene sündmus alati sõltumatu. Ja siis, kui soodsate või kõigi tulemuste arv muutub, on sündmused sõltuvad ja kui mitte, siis sõltumatud.

Harjutame veidi tõenäosuse määramiseks.

Näide 1

Münti visatakse kaks korda. Kui suur on tõenäosus saada kaks korda järjest pead püsti?

Lahendus:

Kaaluge kõike võimalikud variandid:

1. kotkas kotkas
2. sabad kotkas
3. sabad-kotkas
4. Sabad-sabad

Nagu näete, kõik võimalused. Ainult nendest oleme rahul. See on tõenäosus:

Kui tingimus palub lihtsalt tõenäosust leida, siis tuleb vastus anda vormis kümnendmurd. Kui oleks märgitud, et vastus tuleb anda protsentides, siis korrutaksime sellega.

Vastus:

Näide 2

Šokolaadikarbis on kõik kommid pakitud samasse ümbrisesse. Küll aga maiustustest - pähklite, konjaki, kirsside, karamelli ja nugaga.

Kui suur on tõenäosus võtta üks komm ja saada pähklitega komm. Esitage oma vastus protsentides.

Lahendus:

Kui palju on võimalikke tulemusi? .

See tähendab, et võttes ühe kommi, on see üks karbis olevatest.

Ja kui palju on soodsaid tulemusi?

Sest karbis on ainult pähklitega šokolaadid.

Vastus:

Näide 3

Pallide kastis. millest valged ja mustad.

1. Kui suur on valge palli tõmbamise tõenäosus?
2. Lisasime karpi veel mustad pallid. Kui suur on tõenäosus tõmmata nüüd valge pall?

Lahendus:

a) Kastis on ainult pallid. millest valged.

Tõenäosus on:

b) Nüüd on kastis pallid. Ja valgeid on alles nii palju.

Vastus:

Täielik tõenäosus

Näiteks punaste ja roheliste pallide karbis. Kui suur on punase palli tõmbamise tõenäosus? roheline pall? Punane või roheline pall?

Punase palli tõmbamise tõenäosus

Roheline pall:

Punane või roheline pall:

Nagu näete, on kõigi võimalike sündmuste summa võrdne (). Selle punkti mõistmine aitab lahendada paljusid probleeme.

Näide 4

Karbis on viltpliiatsid: roheline, punane, sinine, kollane, must.

Kui suur on tõenäosus, et joonistatakse MITTE punane marker?

Lahendus:

Loeme arvu soodsaid tulemusi.

EI OLE punane marker, see tähendab rohelist, sinist, kollast või musta.

Kõigi sündmuste tõenäosus. Ja meie poolt ebasoodsaks peetavate sündmuste tõenäosus (kui me tõmbame välja punase viltpliiatsi) on .

Seega on tõenäosus joonistada MITTE punane viltpliiats -.

Vastus:

Sõltumatute sündmuste tõenäosuste korrutamise reegel

Sa juba tead, mis on iseseisvad sündmused.

Ja kui teil on vaja leida tõenäosus, et kaks (või enam) sõltumatut sündmust toimuvad järjest?

Oletame, et tahame teada, kui suur on tõenäosus, et münti ühe korra visates näeme kotkast kaks korda?

Oleme juba kaalunud - .

Mis siis, kui viskame mündi? Kui suur on tõenäosus näha kotkast kaks korda järjest?

Võimalikud valikud kokku:

1. Kotkas-kotkas-kotkas
2. Kotkas-pea-saba
3. Pea-saba-kotkas
4. Pea-saba-saba
5. sabad-kotkas-kotkas
6. Sabad-pead-sabad
7. Sabad-sabad-pead
8. Sabad-sabad-sabad

Ma ei tea, kuidas teiega on, aga ma tegin selle nimekirja ükskord valesti. Vau! Ja meile sobib ainult valik (esimene).

5 rulli kohta saate ise koostada nimekirja võimalikest tulemustest. Kuid matemaatikud pole nii töökad kui teie.

Seetõttu panid nad esmalt tähele ja seejärel tõestasid, et teatud sõltumatute sündmuste jada tõenäosus väheneb iga kord ühe sündmuse tõenäosuse võrra.

Teisisõnu,

Vaatleme sama, õnnetu mündi näidet.

Tõenäosus kohtuprotsessil pea peale tulla? . Nüüd viskame münti.

Kui suur on tõenäosus saada sabad ritta?

See reegel ei tööta ainult siis, kui meil palutakse leida tõenäosus, et sama sündmus toimub mitu korda järjest.

Kui tahaksime järjestikuste ümberpööramiste korral leida järjestuse SABA-KOTKKAS-SABA, teeme sama.

Sabade saamise tõenäosus - , pead - .

Jada TAILS-EAGLE-TAILS-TAILS saamise tõenäosus:

Saate seda ise kontrollida, tehes tabeli.

Ühildumatute sündmuste tõenäosuste lisamise reegel.

Nii et lõpetage! Uus määratlus.

Selgitame välja. Võtame oma kulunud mündi ja viskame selle korra ümber.
Võimalikud valikud:

1. Kotkas-kotkas-kotkas
2. Kotkas-pea-saba
3. Pea-saba-kotkas
4. Pea-saba-saba
5. sabad-kotkas-kotkas
6. Sabad-pead-sabad
7. Sabad-sabad-pead
8. Sabad-sabad-sabad

Nii et siin on kokkusobimatud sündmused, see on teatud sündmuste jada. on kokkusobimatud sündmused.

Kui tahame määrata, milline on kahe (või enama) kokkusobimatu sündmuse tõenäosus, siis liidame nende sündmuste tõenäosused.

Peate mõistma, et kotka või sabade kaotus on kaks sõltumatut sündmust.

Kui tahame määrata, milline on jada (või mõne muu) väljalangemise tõenäosus, siis kasutame tõenäosuste korrutamise reeglit.
Kui suur on tõenäosus saada esimesel viskel pead ja teisel ja kolmandal sabad?

Aga kui tahame teada, kui suur on tõenäosus saada üks mitmest jadast, näiteks kui pead kerkivad täpselt üks kord, s.t. valikuid ja siis peame lisama nende jadade tõenäosused.

Meile sobivad kõik võimalused.

Sama saame, kui liidame iga jada esinemise tõenäosused:

Seega lisame tõenäosused, kui tahame määrata mingite, kokkusobimatute sündmuste jada tõenäosust.

On olemas suurepärane reegel, mis aitab teil mitte segadusse sattuda, millal korrutada ja millal lisada:

Läheme tagasi näite juurde, kus viskasime kordi münti ja tahame teada, kui suur on tõenäosus, et näeme kordi päid.
Mis juhtuma hakkab?

Peaks langema:
(pead JA sabad AND sabad) VÕI (sabad JA sabad AND sabad) VÕI (sabad JA sabad JA pead).
Ja nii selgub:

Vaatame mõnda näidet.

Näide 5

Karbis on pliiatsid. punane, roheline, oranž ja kollane ja must. Kui suur on tõenäosus joonistada punaseid või rohelisi pliiatseid?

Lahendus:

Mis juhtuma hakkab? Peame välja tõmbama (punane VÕI roheline).

Nüüd on selge, liidame nende sündmuste tõenäosused kokku:

Vastus:

Näide 6

Täringut visatakse kaks korda, kui suur on tõenäosus, et kokku tuleb 8?

Lahendus.

Kuidas me saame punkte saada?

(ja) või (ja) või (ja) või (ja) või (ja).

Ühest (ükskõik millisest) näost väljakukkumise tõenäosus on .

Arvutame tõenäosuse:

Vastus:

Treening.

Ma arvan, et nüüd on teile selgeks saanud, millal peate tõenäosusi loendama, millal neid liita ja millal korrutada. Pole see? Teeme trenni.

Ülesanded:

Võtame kaardipaki, milles kaartideks on labidad, südamed, 13 nuiat ja 13 tamburiini. Alates kuni iga masti ässani.

1. Kui suur on tõenäosus, et tõmmatakse nuisid järjest (paneme esimese väljatõmmatud kaardi paki tagasi ja segame)?
2. Kui suur on musta kaardi (labidad või nuiad) tõmbamise tõenäosus?
3. Kui suur on tõenäosus joonistada pilt (tungraud, emand, kuningas või äss)?
4. Kui suur on tõenäosus joonistada kaks pilti järjest (eemaldame pakist esimese väljatõmmatud kaardi)?
5. Kui suur on tõenäosus kahe kaardi võtmisel koguda kombinatsioon - (Jack, Queen või King) ja Äss Kaartide väljatõmbamise järjekord ei oma tähtsust.

Vastused:

1. Iga väärtusega kaardipakis tähendab see järgmist:
2. Sündmused on sõltuvad, kuna pärast esimest tõmmatud kaarti on kaardipaki kaartide arv vähenenud (nagu ka “piltide” arv). Tungrauad, emandad, kuningad ja ässad algselt pakis, mis tähendab tõenäosust, et esimese kaardiga joonistatakse pilt:

   Kuna me eemaldame pakist esimest kaarti, siis see tähendab, et pakis on juba kaart, millest on pilte. Teise kaardiga pildi joonistamise tõenäosus:

   Kuna meid huvitab olukord, kui tekilt saame: “pilt” JA “pilt”, siis tuleb tõenäosused korrutada:

   Vastus:

3. Pärast esimese kaardi loosimist kaartide arv pakis väheneb, seega on meil kaks võimalust:
   1) Esimese kaardiga võtame välja ässa, teise - tungraud, emand või kuningas
   2) Esimese kaardiga võtame välja tungraua, emand või kuninga, teise - ässa. (äss ja (tungraud või emand või kuningas)) või ((tungraud või emand või kuningas) ja äss). Ärge unustage kaardipakis olevate kaartide arvu vähendamist!

Kui suutsid kõik probleemid ise lahendada, siis oled suurepärane sell! Nüüd ülesanded tõenäosusteooria kohta eksamil klõpsate nagu pähklid!

TÕENÄOSUSTEOORIA. KESKMINE TASE

Kaaluge näidet. Oletame, et viskame täringut. Mis luu see on, kas tead? See on kuubi nimi, mille nägudel on numbrid. Mitu nägu, nii palju numbreid: alates mitmeni? Enne.

Nii et me viskame täringut ja tahame, et see leiaks või. Ja me kukume välja.

Tõenäosusteoorias öeldakse, mis juhtus soodne sündmus(mitte segi ajada heaga).

Kui see välja kukuks, oleks üritus ka soodne. Kokku võib juhtuda ainult kaks soodsat sündmust.

Kui palju halbu? Kuna kõik võimalikud sündmused, siis ebasoodsad neist on sündmused (see on siis, kui see kukub välja või).

Definitsioon:

Tõenäosus on soodsate sündmuste ja kõigi võimalike sündmuste arvu suhe.. See tähendab, et tõenäosus näitab, milline osa kõigist võimalikest sündmustest on soodsad.

Tõenäosust tähistatakse ladina tähega (ilmselt alates Ingliskeelne sõna tõenäosus – tõenäosus).

Tõenäosust on tavaks mõõta protsentides (vt teemat,). Selleks tuleb tõenäosuse väärtus korrutada. Täringu näites tõenäosus.

Ja protsentides: .

Näited (otsustage ise):

1. Kui suur on tõenäosus, et mündivise langeb pähe? Ja kui suur on saba tõenäosus?
2. Kui suur on tõenäosus, et täringu viskamisel tuleb paarisarv? Ja millega – veider?
3. Tavaliste, siniste ja punaste pliiatsite sahtlis. Joonistame juhuslikult ühe pliiatsi. Kui suur on lihtsa väljatõmbamise tõenäosus?

Lahendused:

1. Kui palju valikuid on? Pead ja sabad - ainult kaks. Ja kui paljud neist on soodsad? Ainult üks on kotkas. Nii et tõenäosus

   Sama ka sabadega: .

2. Kokku valikud: (mitu külge on kuubil, nii palju erinevaid valikuid). Soodsad: (need on kõik paarisarvud :).
   Tõenäosus. Kummalise asjaga muidugi sama.
3. Kokku: . Soodne:. Tõenäosus:.

Täielik tõenäosus

Kõik sahtlis olevad pliiatsid on rohelised. Kui suur on tõenäosus joonistada punane pliiats? Võimalusi pole: tõenäosus (lõppude lõpuks soodsad sündmused -).

Sellist sündmust nimetatakse võimatuks.

Kui suur on tõenäosus joonistada roheline pliiats? Soodsaid sündmusi on täpselt nii palju kui on kogusündmusi (kõik sündmused on soodsad). Nii et tõenäosus on või.

Sellist sündmust nimetatakse kindlaks.

Kui kastis on rohelised ja punased pliiatsid, siis kui suur on tõenäosus joonistada roheline või punane? Ikka jälle. Pange tähele järgmist: rohelise joonistamise tõenäosus on võrdne ja punase on .

Kokkuvõttes on need tõenäosused täpselt võrdsed. See on, kõigi võimalike sündmuste tõenäosuste summa on võrdne või.

Näide:

Pliiatsikarbis on nende hulgas sinist, punast, rohelist, lihtsat, kollast ja ülejäänud on oranžid. Kui suur on tõenäosus, et rohelist ei joonista?

Lahendus:

Pidage meeles, et kõik tõenäosused liidetakse. Ja rohelise joonistamise tõenäosus on võrdne. See tähendab, et tõenäosus, et rohelist ei joonista, on võrdne.

Pidage meeles seda trikki: Tõenäosus, et sündmust ei toimu, on miinus sündmuse toimumise tõenäosus.

Sõltumatud sündmused ja korrutamisreegel

Viskad münti kaks korda ja tahad, et see mõlemal korral pähe tuleks. Kui suur on selle tõenäosus?

Vaatame läbi kõik võimalikud valikud ja määrame, kui palju neid on:

Kotkas-kotkas, saba-kotkas, kotkas-saba, saba-saba. Mida veel?

Kogu variant. Neist meile sobib ainult üks: Eagle-Eagle. Niisiis, tõenäosus on võrdne.

Hea. Nüüd viskame münti. Arvestage ennast. Juhtus? (vastus).

Võib-olla olete märganud, et iga järgmise viske lisandumisel väheneb tõenäosus kordades. Üldreegel helistas korrutamisreegel:

Sõltumatute sündmuste tõenäosused muutuvad.

Mis on iseseisvad sündmused? Kõik on loogiline: need on need, mis üksteisest ei sõltu. Näiteks kui me viskame münti mitu korda, siis iga kord tehakse uus vise, mille tulemus ei sõltu kõigist eelnevatest viskamisest. Sama eduga saame korraga visata kahte erinevat münti.

Veel näiteid:

1. Täringut visatakse kaks korda. Kui suur on tõenäosus, et see tuleb mõlemal korral?
2. Münti visatakse korda. Kui suur on tõenäosus saada esmalt pead ja siis kaks korda sabad?
3. Mängija viskab kahte täringut. Kui suur on tõenäosus, et nendel olevate arvude summa on võrdne?

Vastused:

1. Sündmused on sõltumatud, mis tähendab, et korrutamisreegel töötab: .
2. Kotka tõenäosus on võrdne. Sabade tõenäosus ka. Korrutame:
3. 12 saab ainult siis, kui välja kukub kaks -ki: .

Kokkusobimatud sündmused ja lisamise reegel

Kokkusobimatud sündmused on sündmused, mis täiendavad üksteist täie tõenäosusega. Nagu nimigi ütleb, ei saa need toimuda samal ajal. Näiteks kui viskame münti, võivad pead või sabad välja kukkuda.

Näide.

Pliiatsikarbis on nende hulgas sinist, punast, rohelist, lihtsat, kollast ja ülejäänud on oranžid. Kui suur on tõenäosus joonistada roheline või punane?

Lahendus.

Rohelise pliiatsi joonistamise tõenäosus on võrdne. Punane -.

Kõik soodsad sündmused: roheline + punane. Seega on rohelise või punase joonistamise tõenäosus võrdne.

Sama tõenäosust saab esitada järgmisel kujul: .

See on lisamise reegel: kokkusobimatute sündmuste tõenäosused liidetakse.

Segatud ülesanded

Näide.

Münti visatakse kaks korda. Kui suur on tõenäosus, et rullide tulemus on erinev?

Lahendus.

See tähendab, et kui pead kerkivad esimesena, peaksid sabad olema teisel kohal ja vastupidi. Selgub, et siin on kaks paari iseseisvaid sündmusi ja need paarid ei sobi omavahel kokku. Kuidas mitte sattuda segadusse, kus korrutada ja kuhu lisada.

Selliste olukordade jaoks on lihtne reegel. Proovige kirjeldada, mis peaks juhtuma, ühendades sündmused ametiühingutega "JA" või "VÕI". Näiteks antud juhul:

Peab veerema (pead ja sabad) või (sabad ja pead).

Kui on liit "ja", toimub korrutamine ja kus "või" on liitmine:

Proovige ise:

1. Kui suur on tõenäosus, et kahel mündiviskel tuleb mõlemal korral sama külg?
2. Täringut visatakse kaks korda. Kui suur on tõenäosus, et summa langeb punkte?

Lahendused:

1. (Pead püsti ja pead püsti) või (sabad püsti ja sabad üles): .
2. Millised on võimalused? ja. Seejärel:
   Valtsitud (ja) või (ja) või (ja): .

Veel üks näide:

Viskame korra mündi. Kui suur on tõenäosus, et pead kerkivad vähemalt korra üles?

Lahendus:

Oi, kuidas ma ei taha sorteerida valikuid ... Pea-saba-saba, Kotkapea-saba, ... Aga te ei pea! Räägime täistõenäosusest. Mäletasid? Kui suur on tõenäosus, et kotkas ei kuku kunagi alla? See on lihtne: sabad lendavad kogu aeg, see tähendab.

TÕENÄOSUSTEOORIA. LÜHIDALT PEAMISEST

Tõenäosus on soodsate sündmuste ja kõigi võimalike sündmuste arvu suhe.

Iseseisvad üritused

Kaks sündmust on sõltumatud, kui ühe toimumine ei muuda teise toimumise tõenäosust.

Täielik tõenäosus

Kõigi võimalike sündmuste tõenäosus on ().

Tõenäosus, et sündmust ei toimu, on miinus sündmuse toimumise tõenäosus.

Sõltumatute sündmuste tõenäosuste korrutamise reegel

Teatud sõltumatute sündmuste jada tõenäosus on võrdne iga sündmuse tõenäosuse korrutisega

Kokkusobimatud sündmused

Kokkusobimatud sündmused on sündmused, mis ei saa katse tulemusel toimuda üheaegselt. Moodustub kokkusobimatute sündmuste jada täisgrupp sündmused.

Kokkusobimatute sündmuste tõenäosused liidetakse.

Olles kirjeldanud, mis peaks juhtuma, kasutades liite "AND" või "OR", panime "AND" asemele korrutamise märgi ja "OR" asemele liitmise.

Noh, teema on läbi. Kui loed neid ridu, siis oled väga lahe.

Sest ainult 5% inimestest on võimelised ise midagi meisterdama. Ja kui oled lõpuni lugenud, siis oled 5% sees!

Nüüd kõige tähtsam.

Olete selle teema teooria välja mõelnud. Ja ma kordan, see on ... see on lihtsalt super! Oled juba parem kui valdav enamus oma eakaaslasi.

Probleem on selles, et sellest ei pruugi piisata...

Milleks?

Edukaks eksami sooritamine, instituuti eelarve eest vastuvõtmiseks ja, MIS TÄHTIS, eluks ajaks.

Ma ei veena teid milleski, ütlen lihtsalt ühte ...

Hea hariduse saanud inimesed teenivad palju rohkem kui need, kes pole seda saanud. See on statistika.

Kuid see pole peamine.

Peaasi, et nad on ROHKEM ÕNNELIKUD (sellised uuringud on olemas). Võib-olla sellepärast, et nende ees avaneb palju rohkem võimalusi ja elu muutub helgemaks? Ei tea...

Aga mõelge ise...

Mida on vaja selleks, et olla eksamil teistest parem ja lõpuks ... õnnelikum?

TÄIDA KÄSI, LAHENDAGE SELLEL TEEMAL PROBLEEMID.

Eksamil ei küsita teilt teooriat.

Sa vajad lahendada probleemid õigel ajal.

Ja kui te pole neid lahendanud (PALJU!), siis teete kindlasti kuskil rumala vea või lihtsalt ei tee seda õigeks ajaks.

See on nagu spordis – kindla võidu saamiseks tuleb mitu korda korrata.

Leidke kollektsioon kõikjal, kus soovite tingimata lahendustega üksikasjalik analüüs ja otsusta, otsusta, otsusta!

Võite kasutada meie ülesandeid (pole vajalik) ja kindlasti soovitame neid.

Selleks, et meie ülesannete abil abi saada, peate aitama pikendada praegu loetava YouCleveri õpiku eluiga.

Kuidas? On kaks võimalust.

1. Avage juurdepääs kõigile selles artiklis peidetud ülesannetele - 299 hõõruda.
2. Avage juurdepääs kõigile peidetud ülesannetele kõigis õpetuse 99 artiklis - 999 hõõruda.

Jah, meil on õpikus 99 sellist artiklit ja ligipääs kõikidele ülesannetele ja kõikidele nendes olevatele peidetud tekstidele saab kohe avada.

Teisel juhul me anname teile simulaator "6000 ülesannet lahenduste ja vastustega, iga teema kohta, igale keerukusastmele." Kindlasti piisab sellest, kui suvalise teemaga probleemide lahendamisel kätt saada.

Tegelikult on see palju enamat kui lihtsalt simulaator – terve koolitusprogramm. Vajadusel saate seda kasutada ka TASUTA.

Juurdepääs kõigile tekstidele ja programmidele on tagatud kogu saidi eluea jooksul.

Kokkuvõtteks...

Kui teile meie ülesanded ei meeldi, otsige teisi. Ärge lihtsalt lõpetage teooriaga.

“Arusaadav” ja “Ma tean, kuidas lahendada” on täiesti erinevad oskused. Teil on mõlemat vaja.

Leia probleemid ja lahenda!