Arve ja avaldisi, mis moodustavad algse avaldise, saab asendada nendega identselt võrdsete avaldistega. Selline algse avaldise teisendus toob kaasa avaldise, mis on sellega identselt võrdne.

Näiteks avaldises 3+x saab arvu 3 asendada summaga 1+2 , mille tulemuseks on avaldis (1+2)+x , mis on identselt võrdne algse avaldisega. Teine näide: avaldises 1+a 5 saab a 5 astme asendada sellega identselt võrdse korrutisega, näiteks kujul a·a 4 . See annab meile avaldise 1+a·a 4 .

See transformatsioon on kahtlemata kunstlik ja on tavaliselt ettevalmistus mõneks edasiseks transformatsiooniks. Näiteks summas 4·x 3 +2·x 2 võib astme omadusi arvestades liiget 4·x 3 esitada korrutisena 2·x 2 ·2·x . Pärast sellist teisendust saab algne avaldis kujul 2·x 2 ·2·x+2·x 2 . Ilmselt on saadud summa liikmetel ühine tegur 2 x 2, nii et saame teha järgmise teisenduse - sulud. Pärast seda jõuame avaldiseni: 2 x 2 (2 x+1) .

Sama arvu liitmine ja lahutamine

Teine avaldise kunstlik teisendus on sama arvu või avaldise samaaegne liitmine ja lahutamine. Selline teisendus on identne, kuna see on tegelikult samaväärne nulli lisamisega ja nulli lisamine väärtust ei muuda.

Kaaluge näidet. Võtame avaldise x 2 +2 x . Kui lisate sellele ühe ja lahutate ühe, võimaldab see tulevikus teha teise identse teisenduse - vali binoomi ruut: x 2 +2 x=x 2 +2 x+1-1=(x+1) 2 -1.

Bibliograafia.

• Algebra:õpik 7 raku jaoks. Üldharidus institutsioonid / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindjuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; toim. S. A. Teljakovski. - 17. väljaanne. - M. : Haridus, 2008. - 240 lk. : haige. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebra:õpik 8 raku jaoks. Üldharidus institutsioonid / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindjuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; toim. S. A. Teljakovski. - 16. väljaanne. - M. : Haridus, 2008. - 271 lk. : haige. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovitš A.G. Algebra. 7. klass. Kell 14 1. osa Õpilase õpik õppeasutused/ A. G. Mordkovitš. - 17. väljaanne, lisa. - M.: Mnemozina, 2013. - 175 lk.: ill. ISBN 978-5-346-02432-3.

Murrud

Tähelepanu!
On täiendavaid
materjal erijaos 555.
Neile, kes tugevalt "mitte väga..."
Ja neile, kes "väga...")

Murrud keskkoolis ei ole väga tüütud. Praeguseks. Kuni sa jooksed kraadidesse ratsionaalsed näitajad jah logaritmid. Ja seal…. Vajutate, vajutate kalkulaatorit ja see näitab kogu mõne numbri tulemustabelit. Peaga tuleb mõelda nagu kolmandas klassis.

Tegeleme lõpuks murdudega! No kui palju saab nendes segadusse minna!? Pealegi on see kõik lihtne ja loogiline. Niisiis, mis on murded?

Murdude tüübid. Transformatsioonid.

Murrud juhtuvad kolme tüüpi.

1. Harilikud murded , näiteks:

Mõnikord panevad nad horisontaalse joone asemel kaldkriipsu: 1/2, 3/4, 19/5, hästi jne. Siin kasutame sageli seda kirjaviisi. Ülemine number helistatakse lugeja, madalam - nimetaja. Kui ajate neid nimesid pidevalt segamini (juhtub ...), öelge endale fraas väljendiga: " Zzzzz jäta meelde! Zzzzz nimetaja - välja zzzz u!" Vaata, kõik jääb meelde.)

Kriips, mis on horisontaalne, mis on kaldu, tähendab jaotusülemine number (lugeja) kuni alumine number (nimetaja). Ja see ongi kõik! Kriipsu asemel on täiesti võimalik panna jagamismärk - kaks punkti.

Kui jagamine on täielikult võimalik, tuleb seda teha. Seega on murdosa "32/8" asemel palju meeldivam kirjutada number "4". Need. 32 jagatakse lihtsalt 8-ga.

32/8 = 32: 8 = 4

Ma ei räägi murdosast "4/1". Mis on samuti lihtsalt "4". Ja kui see ei jagune täielikult, jätame selle murdosaks. Mõnikord peate tegema vastupidist. Tee täisarvust murd. Aga sellest pikemalt hiljem.

2. Kümnendkohad , näiteks:

Just sellel kujul on vaja ülesannete "B" vastused üles kirjutada.

3. seganumbrid , näiteks:

Seganumbreid gümnaasiumis praktiliselt ei kasutata. Nendega töötamiseks tuleb need teisendada tavalisteks murdudeks. Aga sa pead kindlasti teadma, kuidas seda teha! Ja siis satub selline number pusle ja ripub ... Nullist. Kuid me mäletame seda protseduuri! Natuke madalam.

Kõige mitmekülgsem harilikud murded. Alustame nendega. Muide, kui murdosas on kõikvõimalikud logaritmid, siinused ja muud tähed, siis see ei muuda midagi. Selles mõttes, et kõik murdosaavaldistega toimingud ei erine tavaliste murdudega toimingutest!

Murru põhiomadus.

Nii et lähme! Esiteks üllatan teid. Üks omadus pakub kogu murdarvu teisenduste valikut! Nii seda nimetatakse murdosa põhiomadus. Pidage meeles: Kui murdosa lugeja ja nimetaja korrutada (jagada) sama arvuga, siis murd ei muutu. Need:

Selge on see, et edasi võib kirjutada, kuni näost siniseks läheb. Ärge laske siinustel ja logaritmidel end segadusse ajada, me tegeleme nendega edasi. Peamine asi, mida mõista, on see, et kõik need erinevad väljendid on sama murdosa . 2/3.

Ja me vajame seda, kõiki neid muutusi? Ja kuidas! Nüüd näete ise. Esiteks kasutame murdosa põhiomadust for murdosa lühendid. Näib, et asi on elementaarne. Jagame lugeja ja nimetaja sama arvuga ja ongi kõik! On võimatu eksida! Aga... inimene on loov olend. Vigu võib teha igal pool! Eriti kui pead vähendama mitte murdu nagu 5/10, vaid murdosavaldist igasuguste tähtedega.

Kuidas murde õigesti ja kiiresti ilma tarbetut tööd tegemata vähendada, leiate spetsiaalsest jaotisest 555.

Tavaline õpilane ei viitsi lugejat ja nimetajat sama arvuga (või avaldisega) jagada! Ta lihtsalt kriipsutab kõik sama ülevalt ja alt maha! See on koht, kus see peidab end tüüpiline viga, blooper, kui soovite.

Näiteks peate avaldist lihtsustama:

Pole midagi mõelda, kriipsutame ülevalt maha "a" tähe ja alt kahekümne! Saame:

Kõik on õige. Aga tõesti sa jagasid tervik lugeja ja tervik nimetaja "a". Kui olete harjunud lihtsalt läbi kriipsutama, võite kiirustades "a" avaldises maha kriipsutada

ja saada uuesti

Mis oleks kategooriliselt vale. Sest siin tervik lugeja juba "a" peal pole jagatud! Seda osa ei saa vähendada. Muide, selline lühend on, hm ... õpetajale tõsine väljakutse. Seda ei andestata! Mäletad? Vähendamisel on vaja jagada tervik lugeja ja tervik nimetaja!

Murdude vähendamine muudab elu palju lihtsamaks. Kuskilt saad murdosa, näiteks 375/1000. Ja kuidas temaga nüüd koostööd teha? Ilma kalkulaatorita? Korruta, ütle, liita, ruut!? Ja kui te pole liiga laisk, vaid vähendage hoolikalt viie ja isegi viie ja isegi ... selle vähendamise ajal. Saame 3/8! Palju ilusam, eks?

Murru põhiomadus võimaldab teisendada tavalised murrud kümnendkohtadeks ja vastupidi ilma kalkulaatorita! See on eksami jaoks oluline, eks?

Kuidas teisendada murde ühest vormist teise.

Kümnendkohtadega on lihtne. Nii nagu kuuldakse, nii kirjutatakse! Oletame, et 0,25. See on null punkt, kakskümmend viis sajandikku. Nii et me kirjutame: 25/100. Vähendame (jagame lugeja ja nimetaja 25-ga), saame tavalise murdosa: 1/4. Kõik. See juhtub ja midagi ei vähene. Nagu 0,3. See on kolm kümnendikku, s.o. 3/10.

Mis siis, kui täisarvud on nullist erinevad? See on korras. Kirjutage kogu murdosa üles ilma ühegi komata lugejas ja nimetajas - kuuldu. Näiteks: 3.17. See on kolm tervet, seitseteist sajandikku. Lugejasse kirjutame 317 ja nimetajasse 100. Saame 317/100. Midagi ei vähendata, see tähendab kõike. See on vastus. Elementaarne Watson! Kõigest ülaltoodust on kasulik järeldus: mis tahes kümnendmurru saab teisendada harilikuks murruks .

Kuid pöördteisendust, tavalisest kümnendkohani, ei saa mõned ilma kalkulaatorita hakkama. Aga sa pead! Kuidas sa eksamil vastuse kirja paned!? Lugesime selle protsessi hoolikalt läbi ja valdame seda.

Mis on kümnendmurd? Tal on nimetajas alati on väärt 10 või 100 või 1000 või 10 000 ja nii edasi. Kui teie tavalisel murul on selline nimetaja, pole probleemi. Näiteks 4/10 = 0,4. Või 7/100 = 0,07. Või 12/10 = 1,2. Ja kui jaotise "B" ülesande vastuses osutus 1/2? Mida me vastuseks kirjutame? Kümakohad on kohustuslikud...

Me mäletame murdosa põhiomadus ! Matemaatika võimaldab soodsalt korrutada lugeja ja nimetaja sama arvuga. Kellelegi, muide! Välja arvatud muidugi null. Kasutagem seda funktsiooni enda huvides! Millega saab nimetaja korrutada, s.t. 2, et sellest saaks 10, 100 või 1000 (väiksem on muidugi parem...)? 5, ilmselgelt. Korrutage nimetaja vabalt (see on meie vajalik) 5-ga. Aga, siis tuleb ka lugeja korrutada 5-ga. See juba on matemaatika nõuab! Saame 1/2 \u003d 1x5 / 2x5 \u003d 5/10 \u003d 0,5. See on kõik.

Igasuguseid nimetajaid tuleb aga ette. Näiteks murdosa 3/16 langeb. Proovige, mõelge välja, millega korrutada 16, et saada 100 või 1000... Ei tööta? Siis saate lihtsalt jagada 3 16-ga. Kalkulaatori puudumisel peate jagama nurgas, paberil, nagu algklassides õpetati. Saame 0,1875.

Ja seal on mõned väga halvad nimetajad. Näiteks murdu 1/3 ei saa muuta heaks kümnendkohaks. Nii kalkulaatoril kui paberil saame 0,3333333 ... See tähendab, et 1/3 täpseks kümnendmurruks ei tõlgi. Täpselt nagu 1/7, 5/6 ja nii edasi. Paljud neist on tõlkimatud. Siit ka veel üks kasulik järeldus. Mitte iga harilik murd ei teisenda kümnendkohaks. !

Muide, see kasulik informatsioon enesetesti jaoks. Jaotises "B" peate vastuseks kirjutama kümnendmurru. Ja sa said näiteks 4/3. Seda murdu ei teisendata kümnendkohaks. See tähendab, et kuskil tee peal tegite vea! Tulge tagasi, kontrollige lahendust.

Niisiis, harilikud ja kümnendmurrud välja sorteeritud. Jääb tegeleda seganumbritega. Nendega töötamiseks tuleb need kõik teisendada tavalisteks murdudeks. Kuidas seda teha? Saate kuuenda klassi õpilase kinni püüda ja temalt küsida. Kuid mitte alati pole kuuenda klassi õpilane käepärast ... Peame seda ise tegema. See pole keeruline. Korrutage murdosa nimetaja täisarvuga ja lisage murdosa lugeja. See on hariliku murru lugeja. Aga nimetaja? Nimetaja jääb samaks. See kõlab keeruliselt, kuid tegelikult on see üsna lihtne. Vaatame näidet.

Sisestage õudusega nähtud probleemile number:

Rahulikult, ilma paanikata saame aru. Kogu osa on 1. Üks. Murdosa on 3/7. Seetõttu on murdosa nimetaja 7. See nimetaja on hariliku murru nimetaja. Me loendame lugeja. Korrutame 7 1-ga (täisarvuline osa) ja liidame 3 (murruosa lugeja). Saame 10. See on hariliku murru lugeja. See on kõik. Matemaatilises tähistuses tundub see veelgi lihtsam:

Selge? Seejärel kindlustage oma edu! Teisenda harilikeks murdudeks. Peaksite saama 10/7, 7/2, 23/10 ja 21/4.

Keskkoolis nõutakse harva pöördoperatsiooni – vale murdu teisendamist segaarvuks. Noh, kui... Ja kui te - mitte keskkoolis - võite uurida spetsiaalset jaotist 555. Samas kohas, muide, umbes ebaõiged murded teada saada.

Noh, peaaegu kõike. Sa mäletasid murdude tüüpe ja said aru kuidas teisendada need ühest tüübist teise. Küsimus jääb: miks tee seda? Kus ja millal neid sügavaid teadmisi rakendada?

Ma vastan. Iga näide ise viitab vajalikele toimingutele. Kui näites segatakse harilikud murrud, kümnendkohad ja isegi segaarvud hunnikusse, tõlgime kõik tavalisteks murdudeks. Seda saab alati teha. Noh, kui on kirjutatud midagi 0,8 + 0,3, siis me arvame nii, ilma igasuguse tõlketa. Miks me vajame lisatööd? Valime sobiva lahenduse meie !

Kui ülesanne on täielikult kümnendkohad, aga ee... mingid kurjad, minge tavaliste juurde, proovige! Vaata, kõik saab korda. Näiteks tuleb arv 0,125 ruutu panna. Polegi nii lihtne, kui te pole kalkulaatori harjumust kaotanud! Peate mitte ainult veerus olevaid numbreid korrutama, vaid ka mõtlema, kuhu koma sisestada! Minu meelest see kindlasti ei tööta! Ja kui lähete tavalisele murdosale?

0,125 = 125/1000. Vähendame 5 võrra (see on mõeldud algajatele). Saame 25/200. Taaskord 5. Saame 5/40. Oh, see kahaneb! Tagasi 5 juurde! Saame 1/8. Lihtsalt kandke (mõtetes!) ja saate 1/64. Kõik!

Teeme selle õppetunni kokkuvõtte.

1. Murdu on kolme tüüpi. Tavalised, kümnend- ja segaarvud.

2. Kümnend- ja segaarvud alati saab teisendada harilikeks murdudeks. Pöördtõlge mitte alati saadaval.

3. Murdude tüübi valik ülesandega töötamiseks sõltub just sellest ülesandest. juuresolekul erinevad tüübid murrud ühes ülesandes, on kõige usaldusväärsem lülituda tavamurdudele.

Nüüd saate harjutada. Esmalt teisendage need kümnendmurrud tavalisteks:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Peaksite saama sellised vastused (segaduses!):

Sellega me lõpetame. Selles õppetükis käsitlesime murdude põhipunkte. Juhtub aga nii, et pole midagi erilist värskendada...) Kui keegi on selle täiesti unustanud või pole veel selgeks saanud... Need võivad minna spetsiaalsesse jaotisesse 555. Kõik põhitõed on seal üksikasjalikult kirjeldatud. Paljud äkki mõista kõike algavad. Ja nad lahendavad murde käigu pealt).

Kui teile meeldib see sait...

Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)

Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õppimine - huviga!)

saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.

Numbrilised ja algebralised avaldised. Avaldise teisendamine.

Mis on avaldis matemaatikas? Miks on vaja avaldiste teisendusi?

Küsimus, nagu öeldakse, on huvitav... Fakt on see, et need mõisted on kogu matemaatika aluseks. Kogu matemaatika koosneb avaldistest ja nende teisendustest. Pole väga selge? Las ma seletan.

Oletame, et teil on kuri näide. Väga suur ja väga keeruline. Oletame, et oled matemaatikas hea ja sa ei karda midagi! Kas saate kohe vastata?

Sa pead otsustama see näide. Järjestikku, samm-sammult see näide lihtsustama. Kõrval teatud reeglid, loomulikult. Need. teha väljenduse teisendamine. Kui edukalt te neid teisendusi läbi viite, nii et olete matemaatikas tugev. Kui sa ei tea, kuidas õigeid teisendusi teha, siis matemaatikas sa ei oska mitte midagi...

Sellise ebamugava tuleviku (või oleviku ...) vältimiseks ei tee sellest teemast arugi.)

Alustuseks uurime välja mis on avaldis matemaatikas. Mida numbriline avaldis ja mis on algebraline avaldis.

Mis on avaldis matemaatikas?

Väljend matemaatikas on väga lai mõiste. Peaaegu kõik, millega me matemaatikas tegeleme, on matemaatiliste avaldiste kogum. Kõik näited, valemid, murrud, võrrandid ja nii edasi – see kõik koosneb matemaatilised avaldised.

3+2 on matemaatiline avaldis. c 2 - d 2 on ka matemaatiline avaldis. Ja terve murd ja isegi üks arv - need on kõik matemaatilised avaldised. Võrrand on näiteks:

5x + 2 = 12

koosneb kahest võrdusmärgiga ühendatud matemaatilisest avaldisest. Üks väljend on vasakul, teine ​​on paremal.

AT üldine vaade termin" matemaatiline avaldis" kasutatakse kõige sagedamini selleks, et mitte pomiseda. Nad küsivad, mis on näiteks tavaline murd? Ja kuidas vastata ?!

Vastus 1: "See on... m-m-m-m... selline asi ... milles ... kas ma saan murdosa paremini kirjutada? Kumba sa tahad?"

Teine vastusevariant: "Tavaline murd on (rõõmsalt ja rõõmsalt!) matemaatiline avaldis , mis koosneb lugejast ja nimetajast!"

Teine võimalus on kuidagi muljetavaldavam, eks?)

Sel eesmärgil kasutatakse fraasi " matemaatiline avaldis "väga hea. Nii korrektne kui soliidne. Aga selleks praktilise rakendamise peaks olema hästi kursis matemaatika spetsiifilised väljenditüübid .

Konkreetne tüüp on teine ​​asi. seda hoopis teine ​​asi! Igal matemaatilise avaldise tüübil on minu oma reeglite ja tehnikate kogum, mida tuleb otsuse tegemisel kasutada. Murdudega töötamiseks - üks komplekt. Trigonomeetriliste avaldistega töötamiseks - teine. Logaritmidega töötamiseks - kolmas. Ja nii edasi. Kusagil langevad need reeglid kokku, kuskil erinevad järsult. Kuid ärge kartke neid kohutavaid sõnu. Logaritme, trigonomeetriat ja muid salapäraseid asju õpime vastavates jaotistes.

Siin õpime (või kordame, nagu teile meeldib ...) kahte peamist tüüpi matemaatilisi avaldisi. Arvulised avaldised ja algebraavaldised.

Numbrilised avaldised.

Mida numbriline avaldis? See on väga lihtne kontseptsioon. Nimi ise viitab sellele, et see on numbritega väljend. Nii see on. Arvudest, sulgudest ja aritmeetiliste tehtemärkidest koosnevat matemaatilist avaldist nimetatakse numbriliseks avaldiseks.

7-3 on numbriline avaldis.

(8+3,2) 5,4 on samuti numbriline avaldis.

Ja see koletis:

ka numbriline avaldis, jah...

Tavaline arv, murd, mis tahes arvutusnäide ilma x-ideta ja muude tähtedeta – kõik need on arvulised avaldised.

peamine omadus numbriline väljendeid selles kirju pole. Mitte ühtegi. Ainult numbrid ja matemaatilised ikoonid (vajadusel). See on lihtne, eks?

Ja mida saab teha numbriliste avaldistega? Arvulisi avaldisi saab tavaliselt üles lugeda. Selleks tuleb vahel avada sulgusid, vahetada märke, lühendada, termineid vahetada – st. teha väljendite teisendused. Aga sellest lähemalt allpool.

Siin käsitleme sellist naljakat juhtumit, kui numbrilise avaldisega sa ei pea midagi tegema. No mitte midagi! See tore operatsioon Mitte midagi teha)- täidetakse, kui avaldis pole mõtet.

Millal pole numbrilisel avaldisel mõtet?

Muidugi, kui näeme enda ees mingit abrakadabrat, nagu nt

siis me ei tee midagi. Kuna pole selge, mida sellega peale hakata. Mingi jama. Kui just plusside arvu kokku lugeda ...

Kuid on väliselt üsna korralikke väljendeid. Näiteks see:

(2+3): (16–2 8)

Kuid see väljend on ka pole mõtet! Sel lihtsal põhjusel, et teistes sulgudes – kui arvestada – saad nulli. Nulliga jagada ei saa! See on matemaatikas keelatud tehte. Seetõttu pole ka selle väljendiga vaja midagi peale hakata. Iga sellise väljendiga ülesande puhul on vastus alati sama: "Väljendil pole mõtet!"

Sellise vastuse andmiseks pidin loomulikult arvutama, mis sulgudes on. Ja vahel sulgudes selline väänamine... No pole midagi teha.

Matemaatikas ei ole nii palju keelatud tehteid. Selles lõimes on ainult üks. Nulliga jagamine. Juurtes ja logaritmis tekkivaid lisakeeldusid käsitletakse vastavates teemades.

Niisiis, ettekujutus sellest, mis on numbriline avaldis- sain. kontseptsioon numbrilisel avaldisel pole mõtet- taipas. Lähme edasi.

Algebralised avaldised.

Kui numbrilises avaldises esinevad tähed, muutub see avaldis... Avaldis muutub... Jah! See muutub algebraline avaldis. Näiteks:

5a 2; 3x-2a; 3(z-2); 3,4 m/n; x 2 +4x-4; (a + b) 2; ...

Selliseid väljendeid nimetatakse ka sõnasõnalised väljendid. Või muutujatega avaldised. See on praktiliselt sama asi. Väljendus 5a +c, näiteks - nii sõnasõnaline kui ka algebraline ning muutujatega avaldis.

kontseptsioon algebraline avaldis - laiem kui numbriline. See sisaldab ja kõik numbrilised avaldised. Need. numbriline avaldis on ka algebraline avaldis, ainult ilma tähtedeta. Iga heeringas on kala, aga mitte iga kala pole heeringas...)

Miks sõnasõnaline- selge. Noh, kuna seal on tähed ... Fraas avaldis muutujatega ka mitte väga segadust tekitav. Kui saate aru, et numbrid on tähtede all peidus. Tähtede alla saab peita igasuguseid numbreid ... Ja 5, ja -18 ja mis iganes meeldib. See tähendab, et kiri saab asendada erinevatele numbritele. Sellepärast tähti kutsutaksegi muutujad.

Väljendis y+5, näiteks, juures- muutuv. Või lihtsalt ütle " muutuja", ilma sõna "väärtus". Erinevalt viiest, mis on püsiv väärtus. Või lihtsalt - konstantne.

Tähtaeg algebraline avaldis tähendab, et selle väljendiga töötamiseks peate kasutama seadusi ja reegleid algebra. Kui a aritmeetika töötab siis konkreetsete numbritega algebra- kõigi numbritega korraga. Lihtne näide selgituseks.

Aritmeetikas võib seda kirjutada

Aga kui kirjutame sarnase võrdsuse algebraliste avaldiste kaudu:

a + b = b + a

otsustame kohe kõik küsimused. Sest kõik numbrid insult. Lõpmatu hulga asjade jaoks. Sest kirjade all a ja b kaudne kõik numbrid. Ja mitte ainult numbreid, vaid isegi muid matemaatilisi avaldisi. Nii töötab algebra.

Millal pole algebralisel avaldisel mõtet?

Arvulise avaldise osas on kõik selge. Nulliga jagada ei saa. Ja kas tähtedega on võimalik teada saada, millega me jagame ?!

Võtame näitena järgmise muutujaavaldise:

2: (a - 5)

Kas see on arusaadav? Aga kes teda tunneb? a- suvaline number...

Ükskõik milline... Kuid sellel on üks tähendus a, mille puhul see väljend täpselt pole mõtet! Ja mis see number on? Jah! See on 5! Kui muutuja a asendage (nad ütlevad - "asendaja") numbriga 5, sulgudes osutub null. mida ei saa jagada. Nii selgub, et meie väljend pole mõtet, kui a = 5. Aga muude väärtuste pärast a Kas see on arusaadav? Kas saate asendada muid numbreid?

Muidugi. Sellistel juhtudel öeldakse lihtsalt, et väljend

2: (a - 5)

on iga väärtuse jaoks mõistlik a, välja arvatud a = 5 .

Kogu numbrite komplekt saab nimetatakse antud avaldisesse asendust kehtiv vahemik see väljend.

Nagu näete, pole midagi keerulist. Vaatame muutujatega avaldist ja mõtleme: millise muutuja väärtusega saadakse keelatud tehe (nulliga jagamine)?

Ja siis vaadake kindlasti ülesande küsimust. Mida nad küsivad?

pole mõtet, on vastuseks meie keelatud väärtus.

Kui nad küsivad, millise muutuja väärtusega avaldis omab tähendust(tunneta erinevust!), on vastus kõik muud numbrid välja arvatud keelatud.

Miks me vajame väljendi tähendust? Ta on seal, ta ei ole... Mis vahet seal on?! Fakt on see, et see kontseptsioon muutub keskkoolis väga oluliseks. Ülimalt oluline! See on selliste kindlate mõistete aluseks nagu kehtivate väärtuste vahemik või funktsiooni ulatus. Ilma selleta ei saa te üldse lahendada tõsiseid võrrandeid ega ebavõrdsust. Nagu nii.

Avaldise teisendamine. Identiteedi transformatsioonid.

Tutvusime arv- ja algebraavaldistega. Mõistke, mida tähendab väljend "väljendil pole mõtet". Nüüd peame välja mõtlema, mida väljendi teisendamine. Vastus on lihtne, ennekuulmatu.) See on igasugune väljendiga toiming. Ja see ongi kõik. Olete neid transformatsioone teinud esimesest klassist saati.

Võtke lahe numbriline avaldis 3+5. Kuidas seda teisendada? Jah, väga lihtne! Arvutama:

See arvutus on avaldise teisendus. Saate kirjutada sama väljendi erineval viisil:

Me ei lugenud siin midagi. Lihtsalt kirjutage väljend üles erineval kujul. See on ka väljendi teisendus. Selle võib kirjutada nii:

Ja seegi on väljendi teisendus. Saate teha nii palju neid teisendusi, kui soovite.

Ükskõik milline tegevus väljendile ükskõik milline selle teistsugusel kujul kirjutamist nimetatakse avaldise teisenduseks. Ja kõik asjad. Kõik on väga lihtne. Kuid siin on üks asi väga oluline reegel. Nii oluline, et seda saab julgelt nimetada peamine reegel kogu matemaatika. Selle reegli rikkumine paratamatult viib vigadeni. Kas me saame aru?)

Oletame, et oleme oma väljendit suvaliselt muutnud järgmiselt:

Muutumine? Muidugi. Kirjutasime väljendi teistsugusel kujul, mis siin valesti on?

See pole nii.) Fakt on see, et teisendused "mida iganes" matemaatika ei huvita üldse.) Kogu matemaatika on üles ehitatud teisendustele, milles välimus, kuid väljendi olemus ei muutu. Kolm pluss viis võib kirjutada mis tahes kujul, kuid see peab olema kaheksa.

transformatsioonid, väljendid, mis ei muuda olemust helistas identsed.

Täpselt nii identsed teisendused ja lubage meil samm-sammult muutuda keeruline näide lihtsaks väljendiks, hoidmine näite olemus. Kui teeme teisenduste ahelas vea, teeme MITTE identse teisenduse, siis otsustame teine näide. Teiste vastustega, mis pole õigete vastustega seotud.)

Siin on mis tahes ülesannete lahendamise peamine reegel: teisenduste identiteedi järgimine.

Selguse mõttes tõin näite numbrilise avaldisega 3 + 5. Algebraavaldistes on valemite ja reeglitega antud identsed teisendused. Oletame, et algebras on valem:

a(b+c) = ab + ac

Nii et igas näites saame väljendi asemel a(b+c) kirjuta julgelt väljend ab+ac. Ja vastupidi. seda identne teisendus. Matemaatika annab meile võimaluse valida nende kahe väljendi vahel. Ja millisest kirjutada – millest juhtumiuuring oleneb.

Veel üks näide. Üks olulisemaid ja vajalikumaid teisendusi on murdosa põhiomadus. Täpsemalt näete lingil, kuid siin tuletan lihtsalt meelde reeglit: kui murdu lugeja ja nimetaja korrutada (jagada) sama arvuga või avaldisega, mis ei ole võrdne nulliga, siis murd ei muutu. Siin on näide selle atribuudi identsetest teisendustest:

Nagu arvatavasti arvasite, võib seda ahelat lõputult jätkata...) Väga oluline omadus. Just see võimaldab teil muuta kõikvõimalikud näidiskoletised valgeks ja kohevaks.)

On palju valemeid, mis defineerivad identseid teisendusi. Kuid mis kõige tähtsam - üsna mõistlik summa. Üks põhilisi teisendusi on faktoriseerimine. Seda kasutatakse kogu matemaatikas - algtasemest edasijõudnuni. Alustame temast. järgmises õppetükis.)

Kui teile meeldib see sait...

Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)

Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õppimine - huviga!)

saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.

See üldistatud materjal on tuntud kooli matemaatika kursusest. Me vaatame siin murde. üldine vaade arvude, astmete, juurte, logaritmide, trigonomeetriliste funktsioonide või muude objektidega. Arvesse võetakse murdude põhiteisendusi, olenemata nende tüübist.

Mis on murdosa?

On veel mitu määratlust.

2. definitsioon

Horisontaalset kaldkriipsu, mis eraldab A ja B, nimetatakse murdeks või murdjoon.

3. definitsioon

Murru riba kohal olevat avaldist nimetatakse lugeja ja all - nimetaja.

Tavalistest murrudest üldmurdudeni

Murruga tutvumine toimub 5. klassis, kui tavalised murrud läbivad. Definitsioonist on näha, et lugeja ja nimetaja on naturaalarvud.

Näide 1

Näiteks 1 5 , 2 6 , 12 7 , 3 1 , mille saab kirjutada kui 1/5 , 2/6 , 12/7 , 3/1 .

Pärast harilike murdudega tehte uurimist käsitleme murde, millel on rohkem kui üks nimetaja naturaalarv, vaid naturaalarvudega avaldised.

Näide 2

Näiteks 1 + 3 5 , 9 - 5 16 , 2 7 9 12 .

Kui käsitleme murde, kus on tähti või sõnasõnalisi väljendeid, kirjutatakse see järgmiselt:

a + b c , a - b c , a c b d .

4. definitsioon

Parandame liitmise, lahutamise, korrutamise reeglid tavalised murrud a c + b c = a + b c , a c - b c = a - b c , a b v d = a c b d

Arvutamiseks on sageli vaja jõuda segaarvude tõlkimiseni tavalisteks murdudeks. Kui tähistame täisarvu a-ga, siis murdosa kuju on b / c, saame murdosa kujult a · c + b c, millest on selge selliste murdude ilmumine 2 · 11 + 3 11 , 5 · 2 + 1 2 ja nii edasi.

Murru joont peetakse jagamise märgiks. Seetõttu saab kirje teisendada muul viisil:

1: a - (2 b + 1) \u003d 1 a - 2 b + 1, 5 - 1, 7 3: 2 3 - 4: 2 \u003d 5 - 1, 7 3 2 3 - 4: 2, kus jagatise 4: 2 saab asendada murdosaga, siis saame vormi avaldise

5-1, 7 3 2 3-4 2

Ratsionaalsete murdudega arvutused hõivavad matemaatikas erilise koha, kuna lugeja ja nimetaja võivad sisaldada mitte ainult arvväärtusi, vaid polünoome.

Näide 3

Näiteks 1 x 2 + 1, x y - 2 y 2 0, 5 - 2 x + y 3 .

Ratsionaalväljendeid peetakse üldvormi murdosadeks.

Näide 4

Näiteks x x + 1 4 x 2 x 2 - 1 2 x 3 + 3, 1 + x 2 y (x - 2) 1 x + 3 x 1 + 2 - x 4 x 5 + 6x.

Juurte, ratsionaalsete eksponentide, logaritmide, trigonomeetrilised funktsioonidütleb, et nende rakendus esineb vormi antud murdosades:

Näide 5

a n b n , 2 x + x 2 3 x 1 3 - 12 x , 2 x 2 + 3 3 x 2 + 3 , ln (x - 3) ln e 5 , cos 2 α - sin 2 α 1 - 1 cos 2 α .

Murrud saab kombineerida, see tähendab, et need on kujul x + 1 x 3 log 3 sin 2 x + 3, lg x + 2 lg x 2 - 2 x + 1.

Murru teisendamise tüübid

Mitmete identsete teisenduste puhul arvestatakse mitut tüüpi:

Definitsioon 5

• teisendus, mis on omane lugeja ja nimetajaga töötamiseks;
• märgi muutus enne murdavaldist;
• taandamine ühisnimetajale ja murdosa taandamine;
• murdosa esitamine polünoomide summana.

Avaldiste teisendamine lugejas ja nimetajas

Identselt võrdsete avaldiste korral saame tulemuseks, et saadud murd on identselt võrdne originaaliga.

Kui on antud murdosa vormist A / B, siis on A ja B mõned avaldised. Seejärel saame asendamisel murdosa vormist A 1 / B 1 . On vaja tõestada võrdsust A / A 1 = B / B 1 muutujate mis tahes väärtuse jaoks, mis vastab ODZ-le.

Meil on see A ja A 1 ja B ja B1 on identselt võrdsed, siis on ka nende väärtused võrdsed. Sellest järeldub, et iga väärtuse puhul A/B ja A 1 / B 1 murrud on võrdsed.

See teisendamine muudab murdudega töötamise lihtsamaks, kui peate teisendama lugeja ja nimetaja eraldi.

Näide 6

Näiteks võtame murdosa vormist 2 / 18, mille teisendame 2 2 · 3 · 3-ks. Selleks lagundame nimetaja järgmiseks peamised tegurid. Murd x 2 + x y x 2 + 2 x y + y 2 \u003d x x + y (x + y) 2 omab lugejat kujul x 2 + x y, mis tähendab, et see tuleb asendada x (x + y)-ga, mis saadakse ühisteguri x sulgudes. Antud murdarvu x 2 + 2 x y + y 2 nimetaja kokkuvarisemine lühendatud korrutamisvalemi järgi. Siis saame, et selle identselt võrdne avaldis on (x + y) 2 .

Näide 7

Kui on antud murdosa kujult sin 2 3 φ - π + cos 2 3 φ - π φ φ 5 6, siis on lihtsustamiseks vaja valemi järgi asendada lugeja 1-ga ja nimetaja viia vormile. φ 11 12. Siis saame, et 1 φ 11 12 on võrdne antud murruga.

Märgi muutmine murru ees, selle lugejas, nimetajas

Murru teisendamine on ka murdosa ees olevate märkide asendamine. Vaatame mõnda reeglit:

Definitsioon 7

• lugeja märgi muutmisel saame murru, mis on võrdne antud murdosaga ja see näeb sõna otseses mõttes välja selline: _ - A - B \u003d A B, kus A ja B on mõned avaldised;
• murru ja lugeja ees oleva märgi muutmisel saame, et - - A B = A B ;
• murru ja selle nimetaja ees oleva märgi asendamisel saame, et - A - B = A B .

Tõestus

Miinusmärki käsitletakse enamikul juhtudel märgilise tegurina - 1 ja kaldkriips on jagamine. Siit saame, et - A - B = - 1 · A: - 1 · B . Tegureid rühmitades saame selle

1 A: - 1 B = ((- 1) : (- 1) A: B = = 1 A: B = A: B = A B

Pärast esimese väite tõestamist õigustame ülejäänu. Saame:

A B = (- 1) (((- 1) A) : B) = (- 1 - 1) A: B = = 1 (A: B) = A: B = A B - A - B = (- 1) (A: - 1 B) = ((- 1) : (- 1)) (A: B) == 1 (A: B) = A: B = A B

Kaaluge näiteid.

Näide 8

Kui murdosa 3/7 on vaja teisendada kujule - 3 - 7, - - 3 7, - 3 - 7, siis tehakse see samamoodi murdosaga vormist - 1 + x - x 2 2 2 3 - ln (x 2 + 3) x + sin 2 x 3 x .

Teisendused viiakse läbi järgmiselt:

1) - 1 + x - x 2 2 2 3 - ln (x 2 + 3) x + sin 2 x 3 x = = - (- 1 + x - x 2) - 2 2 3 - ln x 2 + 3 x + sin 2 x 3 x = = 1 - x + x 2 - 2 2 3 + ln (x 2 + 3) x - s i n 2 x 3 x 2) - 1 + x - x 2 2 2 3 - ln (x 2) + 3) x + sin 2 x 3 x = = - - (- 1 + x - x 2) 2 2 3 - ln (x 2 + 3) x + sin 2 x 3 x = = - 1 - x + x 2 2 2 3 - ln (x 2 + 3) x + sin 2 x 3 x 3) - 1 + x - x 2 2 2 3 - ln (x 2 + 3) x + sin 2 x 3 x = = - - 1 + x - x 2 - 2 2 3 - ln (x 2 + 3) x + sin 2 x 3 x = = - - 1 + x - x 2 - 2 2 3 + ln (x 2 + 3) x - sin 2 x 3 x

Murru toomine uude nimetajasse

Harilike murdude uurimisel puudutasime murdude põhiomadust, mis võimaldab korrutada, jagada lugejat ja nimetajat sama naturaalarvuga. Seda saab näha võrrandist a · m b · m = a b ja a: m b: m = a b , kus a , b , m on naturaalarvud.

See võrdsus kehtib mis tahes väärtuste a , b , m ja kõigi a puhul, välja arvatud b ≠ 0 ja m ≠ 0 . See tähendab, et kui murdosa A / B lugeja A ja C-ga, mis on mõned avaldised, korrutatakse või jagatakse avaldisega M, mis ei ole võrdne 0-ga, siis saame murdosa, mis on identselt võrdne esialgne. Saame, et A · M B · M = A B ja A: M B: M = A B .

See näitab, et teisendused põhinevad 2 teisendusel: taandamine ühisnimetajale, redutseerimine.

Ühisnimetajale taandamisel tehakse korrutamine sama arvu või avaldise, lugeja ja nimetajaga. See tähendab, et liigume edasi identse võrdse teisendatud murdosa lahendamise juurde.

Kaaluge näiteid.

Näide 9

Kui võtame murdosa x + 1 0, 5 x 3 ja korrutame 2-ga, siis saame uueks nimetajaks 2 x 0, 5 x 3 = x 3 ja avaldis on kujul 2 x + 1 x 3.

Näide 10

Murru 1 - x 2 x 2 3 1 + ln x taandamiseks teisele nimetajale kujul 6 x 1 + ln x 3 tuleb lugeja ja nimetaja korrutada 3 x 1 3 (1 + ln x) 2-ga. Selle tulemusena saame murdarvu 3 x 1 3 1 + ln x 2 1 - x 6 x (1 + ln x) 3

Rakendatav on ka selline teisendus nagu nimetaja irratsionaalsusest vabanemine. See välistab juure olemasolu nimetajas, mis lihtsustab lahendusprotsessi.

Fraktsiooni vähendamine

Peamine omadus on ümberkujundamine, see tähendab selle otsene vähendamine. Vähendamisel saame lihtsustatud murru. Vaatame näidet:

Näide 11

Või murdosa kujul x 3 x 3 x 2 (2 x 2 + 1 + 3) x 3 x 3 2 x 2 + 1 + 3 3 + 1 3 x, kus taandamine tehakse x 3 , x 3 , 2 x 2 + 1 + 3 või avaldis nagu x 3 x 3 2 x 2 + 1 + 3 . Siis saame murdarvu x 2 3 + 1 3 x

Fraktsiooni vähendamine on lihtne, kui ühised tegurid kohe näha. Praktikas ei juhtu seda sageli, seetõttu on kõigepealt vaja seda tüüpi avaldiste teisendusi läbi viia. On juhtumeid, kui on vaja leida ühine tegur.

Kui on murdosa kujul x 2 2 3 (1 - cos 2 x) 2 sin x 2 cos x 2 2 x 1 3, siis on vaja rakendada trigonomeetrilisi valemeid ja astmete omadusi, et saaks teisendada murd kujul x 1 3 x 2 1 3 sin 2 x sin 2 x x 1 3 . See võimaldab seda vähendada x 1 3 · sin 2 x võrra.

Murru esitamine summana

Kui lugejal on avaldiste algebraline summa nagu A 1 , A 2 , … , A n, ja nimetaja on tähistatud B, siis saab seda murdosa esitada kui A 1 / B , A 2 / B , … , A n / B.

Definitsioon 8

Selleks parandage see A 1 + A 2 + . . . + A n B = A 1 B + A 2 B + . . . + A n B .

See teisendus erineb põhimõtteliselt samade astendajatega murdude lisamisest. Kaaluge näidet.

Näide 12

Antud on murd kujul sin x - 3 x + 1 + 1 x 2, mida esitame murdude algebralise summana. Selleks kujutlege sin x x 2 - 3 x + 1 x 2 + 1 x 2 või sin x - 3 x + 1 x 2 + 1 x 2 või sin x x 2 + - 3 x + 1 + 1 x 2.

Iga murd, millel on vorm A / B, esitatakse mis tahes viisil murdude summana. Lugejas olevat avaldist A saab vähendada või suurendada mis tahes arvu või avaldise A 0 võrra, mis võimaldab jõuda A + A 0 B - A 0 B .

Murru lagundamine kõige lihtsamaks on murru summaks teisendamise erijuhtum. Kõige sagedamini kasutatakse seda integreerimiseks keerukates arvutustes.

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Erinevate algebras käsitletavate avaldiste hulgas on monomiaalide summadel oluline koht. Siin on näited sellistest väljenditest:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

Monoomide summat nimetatakse polünoomiks. Polünoomi termineid nimetatakse polünoomi liikmeteks. Mononoomidele viidatakse ka kui polünoomidele, pidades monoomi ühest liikmest koosnevaks polünoomiks.

Näiteks polünoom
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
saab lihtsustada.

Esitame kõik terminid monomialidena standardvaade:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

Anname saadud polünoomis sarnased terminid:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Tulemuseks on polünoom, mille kõik liikmed on standardkuju monoomid ja nende hulgas pole sarnaseid. Selliseid polünoome nimetatakse standardkuju polünoomid.

Per polünoomaste standardvormil on selle liikmetest suurim volitus. Seega on binoomil \(12a^2b - 7b \) kolmas aste ja trinoomil \(2b^2 -7b + 6 \) teine ​​aste.

Tavaliselt on üht muutujat sisaldavate standardvormi polünoomide liikmed järjestatud selle eksponentide kahanevas järjekorras. Näiteks:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

Mitme polünoomi summa saab teisendada (lihtsustatud) standardkujuliseks polünoomiks.

Mõnikord tuleb polünoomi liikmed jagada rühmadesse, lisades iga rühma sulgudesse. Kuna sulud on sulgude vastandid, on seda lihtne sõnastada sulgude avamise reeglid:

Kui +-märk asetatakse sulgude ette, siis sulgudes olevad terminid kirjutatakse samade märkidega.

Kui sulgude ette on pandud märk "-", siis sulgudes olevad terminid kirjutatakse vastandmärkidega.

Mono- ja polünoomi korrutise teisendamine (lihtsustamine).

Korrutamise jaotusomadust kasutades saab mono- ja polünoomi korrutise polünoomiks teisendada (lihtsustada). Näiteks:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Monoomi ja polünoomi korrutis on identselt võrdne selle monoomi ja polünoomi iga liikme korrutiste summaga.

See tulemus sõnastatakse tavaliselt reeglina.

Monooomi korrutamiseks polünoomiga tuleb see monoom korrutada polünoomi iga liikmega.

Oleme seda reeglit korduvalt kasutanud summaga korrutamiseks.

Polünoomide korrutis. Kahe polünoomi korrutise teisendamine (lihtsustamine).

Üldiselt on kahe polünoomi korrutis identselt võrdne ühe polünoomi iga liikme ja teise iga liikme korrutise summaga.

Tavaliselt kasutage järgmist reeglit.

Polünoomi polünoomiga korrutamiseks peate korrutama ühe polünoomi iga liikme teise liikmega ja liitma saadud korrutised.

Lühendatud korrutusvalemid. Summa, vahe ja erinevuse ruudud

Mõne algebralise teisenduse avaldisega tuleb tegeleda sagedamini kui teistega. Võib-olla on kõige levinumad avaldised \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) ja \(a^2 - b^2 \), see tähendab summa ruut, erinevuse ruut ja ruutvahe. Olete märganud, et nende avaldiste nimed tunduvad olevat puudulikud, nii et näiteks \((a + b)^2 \) ei ole muidugi mitte ainult summa ruut, vaid summa ruut a ja b. A ja b summa ruut pole aga nii levinud, reeglina sisaldab see tähtede a ja b asemel erinevaid, kohati üsna keerulisi avaldisi.

Avaldisi \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) on lihtne teisendada (lihtsustada) standardvormi polünoomideks, tegelikult olete polünoomide korrutamisel sellise ülesandega juba kokku puutunud :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Saadud identiteedid on kasulik meelde jätta ja rakendada ilma vahepealsete arvutusteta. Sellele aitavad kaasa lühikesed verbaalsed formuleeringud.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - summa ruudus on võrdne summaga ruudud ja topelttoode.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - erinevuse ruut on ruutude summa ilma korrutist kahekordistamata.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - ruutude vahe võrdub vahe ja summa korrutisega.

Need kolm identiteeti võimaldavad teisendustes asendada oma vasakpoolsed osad parempoolsetega ja vastupidi - paremad osad vasakpoolsetega. Kõige keerulisem on sel juhul näha vastavaid avaldisi ja aru saada, mis muutujad a ja b neis asendatakse. Vaatame mõnda näidet lühendatud korrutusvalemite kasutamisest.