Räägime võrrandi kirjutamisest keemiline reaktsioon. Just see küsimus tekitab koolilastele tõsiseid raskusi. Mõned ei saa aru korrutisvalemite koostamise algoritmist, teised aga paigutavad koefitsiendid võrrandisse valesti. Arvestades, et kõik kvantitatiivsed arvutused tehakse täpselt võrrandite järgi, on oluline mõista toimingute algoritmi. Proovime välja mõelda, kuidas kirjutada keemiliste reaktsioonide võrrandeid.

Valentsi valemite koostamine

Erinevate ainete vahel toimuvate protsesside korrektseks üleskirjutamiseks peate õppima valemeid kirjutama. Binaarsed ühendid koostatakse, võttes arvesse iga elemendi valentsi. Näiteks peamiste alarühmade metallide puhul vastab see rühma numbrile. Lõpliku valemi koostamisel määratakse nende näitajate vahel väikseim kordaja, seejärel paigutatakse indeksid.

Mis on võrrand

Seda mõistetakse sümboolse kirjena, mis kuvab omavahel interakteeruvad keemilised elemendid, nende kvantitatiivsed suhted, samuti need ained, mis protsessi tulemusena saadakse. Üks üheksanda klassi õpilastele keemia lõputunnistusel pakutavatest ülesannetest on järgmise sõnastusega: „Koosta reaktsioonivõrrandid, mis iseloomustavad Keemilised omadused pakutud aineklass. Ülesandega toimetulemiseks peavad õpilased valdama toimingute algoritmi.

Tegevuse algoritm

Näiteks peate kirjutama kaltsiumi põletamise protsessi, kasutades sümboleid, koefitsiente, indekseid. Räägime sellest, kuidas protseduuri abil keemilise reaktsiooni võrrandit kirjutada. Võrrandi vasakule küljele kirjutame läbi "+" selles interaktsioonis osalevate ainete märgid. Kuna põlemine toimub kaheaatomiliste molekulide hulka kuuluva õhuhapniku osalusel, kirjutame selle valemi O2.

Võrdsusmärgi taga moodustame reaktsioonisaaduse koostise, kasutades valentsi korraldamise reegleid:

2Ca + O2 = 2CaO.

Jätkates vestlust keemilise reaktsiooni võrrandi kirjutamise kohta, märgime vajadust kasutada koostise püsivuse seadust, aga ka ainete koostise säilimist. Need võimaldavad teil läbi viia kohandamisprotsessi, paigutada võrrandisse puuduvad koefitsiendid. See protsess on üks lihtsamaid näiteid anorgaanilises keemias esinevatest interaktsioonidest.

Olulised aspektid

Keemilise reaktsiooni võrrandi kirjutamise mõistmiseks märgime ära mõned selle teemaga seotud teoreetilised küsimused. M. V. Lomonosovi sõnastatud ainete massi jäävuse seadus selgitab koefitsientide järjestamise võimalust. Kuna iga elemendi aatomite arv jääb muutumatuks enne ja pärast interaktsiooni, saab teha matemaatilisi arvutusi.

Võrrandi vasaku ja parema osa võrdsustamisel kasutatakse vähimat ühiskorda sarnaselt liitvalemi koostamisele, võttes arvesse iga elemendi valentse.

Redoks-interaktsioonid

Pärast seda, kui koolilapsed on välja töötanud tegevuste algoritmi, oskavad nad koostada reaktsioonide võrrandi, mis iseloomustavad lihtainete keemilisi omadusi. Nüüd saame jätkata keerukamate interaktsioonide analüüsiga, näiteks elementide oksüdatsiooniastmete muutumisega:

Fe + CuSO4 = FeSO4 + Cu.

Olemas teatud reeglid, mille järgi on paigutatud oksüdatsiooniastmed lihtsates ja keerulistes ainetes. Näiteks kaheaatomilistes molekulides on see indikaator võrdne nulliga, kompleksühendites peaks kõigi oksüdatsiooniastmete summa samuti olema võrdne nulliga. Elektroonilise kaalu koostamisel määratakse aatomid või ioonid, mis loovutavad elektrone (redutseerija) ja võtavad neid vastu (oksüdeerija).

Nende näitajate vahel määratakse väikseim kordaja, samuti koefitsiendid. Redoks-interaktsiooni analüüsi viimane etapp on koefitsientide paigutus skeemis.

Ioonilised võrrandid

Üheks oluliseks küsimuseks, mida koolikeemia käigus käsitletakse, on lahenduste vastastikune mõju. Näiteks, võttes arvesse järgmise sisu ülesannet: "Koostage võrrand baariumkloriidi ja naatriumsulfaadi vahelise ioonivahetuse keemilise reaktsiooni kohta." See hõlmab molekulaarse, täieliku, vähendatud ioonvõrrandi kirjutamist. Ioontasandi interaktsiooni arvestamiseks on vaja see iga lähteaine, reaktsioonisaaduse lahustuvuse tabeli järgi ära märkida. Näiteks:

BaCl2 + Na2SO4 = 2NaCl + BaSO4

Ained, mis ioonideks ei lahustu, on kirjutatud molekulaarses vormis. Ioonivahetusreaktsioon kulgeb täielikult kolmel juhul:

• setete teke;
• gaasi vabastamine;
• halvasti dissotsieerunud aine, näiteks vee saamine.

Kui ainel on stereokeemiline koefitsient, siis võetakse see täisioonvõrrandi koostamisel arvesse. Pärast täieliku ioonvõrrandi kirjutamist redutseeritakse need ioonid, mis ei olnud lahuses seotud. Mis tahes ülesande, mis hõlmab keeruliste ainete lahuste vahel toimuva protsessi käsitlemist, lõpptulemus on vähenenud ioonreaktsioon.

Järeldus

Keemilised võrrandid võimaldavad sümbolite, indeksite, koefitsientide abil selgitada neid protsesse, mida ainete vahel täheldatakse. Sõltuvalt sellest, milline protsess toimub, on võrrandi kirjutamisel teatud nüansse. Üldine algoritm eespool käsitletud reaktsioonide koostamine põhineb valentsil, ainete massi jäävuse seadusel ja koostise püsivusel.

54. Ülesanded ühe tundmatuga võrrandite koostamiseks:

Probleemide lahendamisel saame rakendada võrrandite lahendamise oskusi. Järgmised näited näitavad, kuidas seda teha.

Ülesanne 1 . Maja oli müügis. Ühel ostjal oli rahasumma ¾ tema väärtusest ja teisel 5/6 tema väärtusest. Kui need kokku liita, oleks neil 7000 rubla ülejääki. Mis on maja maksumus?

Ütleme nii, et maja maksab x rubla. Siis (vastavalt probleemi algusele) oli esimesel ostjal (x · ¾) rubla. või, mis on sama, 3x/4 rubla ja teisel oli 5x/6 rubla. Probleemi tingimuse järgmine fraas, nimelt "kui need kokku liita, oleks neil 7000 rubla ülejääk." - on sõnadega väljendatud võrrand: nüüd on vaja seda väljendada mitte sõnades, vaid matemaatilistes märkides. Esiteks võtame sarnase fraasi lihtsustatud kujul: "kui liidate arvud a ja b, siis saadud summa annab m ülejäägi arvu c vastu" - selle fraasi saab matemaatilistes märkides ümber kirjutada järgmiselt: a + b = c + m.

Täpselt samamoodi saame üles kirjutada meie ülesandes esineva võrrandi: kui liidame arvud 3x/4 ja 5x/6, siis saadud summa annab üle arvu x ülejäägi 7000 või
3x/4 + 5x/6 = x + 7000.

Saadud võrrand peaks lihtsustama: 1) korrutage võrrandi mõlemad pooled ühine nimetaja 12 - saada

9x + 10x = 12x + 84000

2) Liigutage tundmatud terminid vasakule:

9x + 10x - 12x = 84000

Nüüd saame probleemile vastata:

Maja maksumus oli 12 000 rubla.

Ülesanne 2 . Esmaspäeval puudus tunnist 13 ja teisipäeval 5 õpilast. Esmaspäeval kohalviibinud õpilaste arvu ja teisipäeval kohalviibijate arvu suhe oli 7/9. Mitu õpilast selles klassis oli?

Oletame, et klassis on x õpilast. Siis esmaspäeval oli (x - 13) õpilast ja teisipäeval (x - 5) õpilast. Fraas "esmaspäeval kohalviibivate õpilaste ja teisipäeval kohalviibivate õpilaste arvu suhe oli 7/9" on sõnadega väljendatud võrrand, mille saab matemaatiliselt ümber kirjutada:

(x - 13) / (x - 5) = 7/9.

Lahendame selle võrrandi:

9 (x - 13) = 7 (x - 5) või 9x - 117 = 7x - 35.

Siit saame: 2x = 82 ja x = 41.
Seega oli selles klassis 41 õpilast.

Ülesanne 3 . Leia murd, mille nimetaja on 3 võrra suurem kui lugeja ja millest saab 4/5, kui lahutada selle lugejast ja nimetajast 1.

See ülesanne erineb mõnevõrra eelmistest. See nõuab “murru leidmist”, kuid ülesande lahendamist nii, nagu 1. ja 2. ülesandes tehti, oleks võimatu: oletame, et soovitud murd on võrdne x-ga. Nii alustada oleks võimatu, sest ülesanne käsitleb eraldi lugejat ja eraldi nimetajat: lugejast tuleb lahutada 1 eraldi ja nimetajast eraldi. Seetõttu on vaja murdu määrata nii, et oleks näha nii selle lugeja kui ka nimetaja. Kuna öeldakse, et nimetaja on 3 võrra suurem kui lugeja, siis saab seda tähistada tähega x või lugeja või nimetajaga - siis on lihtne leida avaldist murru teisele liikmele ja murrule endale.

Siin on probleemi lahendus.

Oletame, et vajaliku murru lugeja on võrdne x-ga. Siis on selle nimetaja võrdne x + 3 ja vajalik murd on võrdne x/(x+3). Fraas "mis (st murd) muutub 4/5, kui 1 lahutatakse selle lugejast ja nimetajast" on võrrand ja selle saab kirjutada matemaatiliselt:
(x - 1) / (x + 3 - 1) = 4/5 või (x - 1) / (x + 2) = 4/5.

5 (x - 1) = 4 (x + 2); 5x - 5 = 4x + 8; 5x - 4x = 5 + 8; x = 13.

Siis on murru nimetaja 16 ja vajalik murd on 13/16.

Ülesanne 4 . Üks vend on teisest 14 aastat vanem ja 6 aasta pärast on ta 2 korda vanem. Kui vana on kumbki vend?

Siin peate andma kaks vastust: mitu aastat noorem vend ja kui vana on vanem, kuid ülesande saab lahendada võrrandiga 1 tundmatu, kuna väidetavalt on vanem vend 14 aastat vanem kui noorem. Lahendame probleemi järgmiselt:

Oletame, et noorem vend on x-aastane; siis vanim on (x + 14) aastane.

6 aasta pärast on noorem vend (x + 6) aastat vana ja vanem (x + 14 + 6) aastat vana või (x + 20) aastat vana.

Räägitakse, et vanem on siis (pärast 6 aastat) nooremast 2 korda vanem, st arv x + 20 peaks olema 2 korda suurem kui x + 6 ja seda saab kirjutada järgmiselt.

(x + 20) / (x + 6) = 2 või x + 20 = 2 (x + 6) või (x + 20) / 2 = x + 6.

Kõige loomulikum rekord on esimene: selleks, et teada saada, mitu korda on üks arv teisest suurem, tuleb jagada; peame välja selgitama, mitu korda on arv (x + 20) rohkem numbrit(x + 6) - selleks peate (x + 20) jagama (x + 6) ja me ütleme, et vastus on "kaks korda". Seetõttu kirjutame, et sellest jagamisest saadakse arv 2, st (x + 20) / (x + 6) = 2.

Teist kirjet saab seletada järgmiselt: meile öeldakse, et arv (x + 20) peab olema 2 korda suurem kui arv (x + 6). Nende arvude võrdlemiseks on seetõttu vaja korrutada neist väiksem, st x + 6, 2-ga. Siis x + 20 = 2(x + 6).

Seejärel selgitatakse kirjet järgmiselt: arvude x + 20 ja x + 6 võrdsustamiseks on vaja neist suurimat 2 korda vähendada ja seejärel (x + 20) / 2 = x + 6.

Kui võtame 1. sissekande

(x + 20) / (x + 6) = 2

ja korrutame võrrandi mõlemad pooled x + 6-ga, saame

x + 20 = 2 (x + 6)

st teine ​​sissekanne. Samuti on lihtne saada 2. või 1. rekord 3. rekordist jne.

Igal juhul saame pärast võrrandi murdudest vabastamist

x + 20 = 2 (x + 6)

ja lihtsalt lahendage võrrand:

x + 20 = 2x + 12; 20 - 12 = 2x - x; 8 = x või x = 8.

Niisiis, noorem vend on 8-aastane ja vanem on 8 + 14 = 22-aastane.

Ülesanne 5 . Ostsin suhkrut ja kohvi, kokku 28 naela; naela suhkru eest maksti 15 kopikat ja naela kohvi eest 80 kopikat, kogu ostu eest maksti 12 rubla. Kui palju suhkrut ja kui palju kohvi ostsite?

Siin võib raskus seisneda selles, et ülesande seisukorras on numbrid antud kas kopikates või rublades. Eelnevalt tuleb paika panna, millistes ühikutes, rublades või kopikates, otsus tehakse. Lahendame probleemi rublades. Siis on lahendus järgmine:

Oletame, et ostsime x naela suhkrut. Siis ostis kohvi (28 – x) naela.

Suhkru eest maksti (15x) kopikat või (3/20)x rubla (kuna 15 kopikat võrdub 3/20 rubla) ja kohvi eest 80 (28 - x) kopikat. või 4/5 (28–x) hõõruda. (kuna 80 kopikat = 4/5 rubla).
Fraas "kogu ostu eest maksis 12 rubla." võib kirjutada:

3x/20 + 4(28x - x)/5 = 12

[Kui lahendada kopikatega, siis oleks võrrand 15x + 80(28 - x) = 1200].

Vabastame võrrandi murdudest, mille jaoks korrutame mõlemad osad 20-ga, saame:

3x + 16 (28 - x) = 240

3x + 448 - 16x = 240

3x - 16x = 240 - 448

-13x = -208,

Niisiis ostsid nad 16 naela suhkrut ja 12 naela kohvi (28–16 = 12).

Tasapinna sirgjoone võrrand.
Suunavektor on sirge. Normaalvektor

Tasapinna sirgjoon on üks lihtsamaid geomeetrilised kujundid, mis on teile tuttav juba algklassidest ja täna õpime sellega toime tulema, kasutades analüütilise geomeetria meetodeid. Materjali valdamiseks on vaja ehitada sirgjoont; teada, milline võrrand määratleb sirge, eelkõige alguspunkti läbiva sirge ja koordinaattelgedega paralleelsed sirged. Selle teabe leiate juhendist. Elementaarfunktsioonide graafikud ja omadused, lõin selle matani jaoks, kuid jaotis umbes lineaarne funktsioon osutus väga edukaks ja üksikasjalikuks. Seega, kallid teekannud, soojendage end kõigepealt seal. Lisaks peab sul olema põhiteadmised umbes vektorid vastasel juhul jääb materjalist arusaamine puudulik.

Selles õppetükis vaatleme viise, kuidas saate tasapinnal sirgjoone võrrandit kirjutada. Soovitan mitte unarusse jätta praktilisi näiteid (isegi kui see tundub väga lihtne), kuna varustan neid elementaarsete ja oluliste faktidega, tehniliste meetoditega, mida edaspidi nõutakse ka teistes kõrgema matemaatika osades.

• Kuidas kirjutada kaldega sirge võrrandit?
• Kuidas ?
• Kuidas leida sirge üldvõrrandi järgi suunavektorit?
• Kuidas kirjutada sirgjoone võrrandit, kui on antud punkt ja normaalvektor?

ja alustame:

Joone võrrand kaldega

Tuntud sirgjoone võrrandi "kooli" vormi nimetatakse sirge võrrand kaldega. Näiteks kui võrrandiga on antud sirge, siis selle kalle: . Mõelge selle koefitsiendi geomeetrilisele tähendusele ja sellele, kuidas selle väärtus mõjutab joone asukohta:

Geomeetria käigus on tõestatud, et sirgjoone kalle on nurga puutuja positiivse telje suuna vahelja antud rida: , ja nurk keeratakse lahti vastupäeva.

Et joonist mitte segamini ajada, tõmbasin nurgad ainult kahele sirgele. Mõelge "punasele" sirgele ja selle kallele. Vastavalt ülaltoodule: (nurk "alfa" on tähistatud rohelise kaarega). "Sinise" sirge kaldega puhul kehtib võrdsus (nurk "beeta" on tähistatud pruuni kaarega). Ja kui nurga puutuja on teada, siis vajadusel on seda lihtne leida ja nurk kasutades pöördfunktsioon- arctangent. Nagu öeldakse, trigonomeetriline tabel või kalkulaator käes. Sellel viisil, kalle iseloomustab sirge kalde astet x-telje suhtes.

Sel juhul on võimalikud järgmised juhtumid:

1) Kui kalle on negatiivne: , siis joon jämedalt öeldes läheb ülalt alla. Näited on joonisel "sinised" ja "karmiinpunased" sirgjooned.

2) Kui kalle on positiivne: , siis joon läheb alt üles. Näideteks on "must" ja "punane" sirgjoon joonisel.

3) Kui kalle on võrdne nulliga: , siis on võrrand kujul ja vastav sirge on paralleelne teljega. Näiteks on "kollane" joon.

4) Teljega paralleelsete sirgjoonte perekonna puhul (joonisel pole näidet, välja arvatud telg ise) on kalle ei eksisteeri (90 kraadi puutuja pole määratletud).

Mida suurem on kaldemoodul, seda järsemaks läheb joondiagramm.

Mõelge näiteks kahele sirgjoonele. Siin on sirgel järsem kalle. Tuletan meelde, et moodul võimaldab märki ignoreerida, meid huvitab ainult absoluutväärtused nurkkoefitsiendid.

Sirge on omakorda järsem kui sirged. .

Vastupidi: mida väiksem on kaldemoodul, seda sirge on laugem.

Sirgete joonte jaoks ebavõrdsus on tõsi, seega on sirgjoon rohkem kui varikatus. Laste liumägi, et mitte istutada sinikaid ja muhke.

Miks seda vaja on?

Pikendage piina Ülaltoodud faktide teadmine võimaldab teil kohe näha oma vigu, eriti vigu graafikute joonistamisel - kui joonisel selgus, et midagi on selgelt valesti. On soovitav, et te kohe oli selge, et näiteks sirge on väga järsk ja läheb alt üles ja sirge on väga tasane, telje lähedal ja läheb ülevalt alla.

Geomeetriliste ülesannete puhul esineb sageli mitu sirget joont, mistõttu on mugav neid kuidagi tähistada.

Märge: sirgjooned on tähistatud väikeste ladina tähtedega: . Populaarne valik on sama tähe tähistamine loomulike alaindeksitega. Näiteks saab tähistada viit rida, mida just vaatlesime .

Kuna iga sirge on üheselt määratud kahe punktiga, saab seda tähistada järgmiste punktidega: jne. Tähistus viitab ilmselgelt sellele, et punktid kuuluvad joonele.

Aeg veidi lõdvestuda:

Kuidas kirjutada kaldega sirge võrrandit?

Kui on teada punkt, mis kuulub teatud sirgele, ja selle sirge kalle, siis väljendatakse selle sirge võrrandit valemiga:

Näide 1

Koostage kaldega sirge võrrand, kui on teada, et punkt kuulub sellele sirgele.

Lahendus: Koostame sirgjoone võrrandi valemi järgi . AT sel juhul:

Vastus:

Uurimine elementaarselt sooritatud. Esiteks vaatame saadud võrrandit ja veendume, et meie kalle on omal kohal. Teiseks peavad punkti koordinaadid täitma antud võrrandit. Ühendame need võrrandisse:

Saadakse õige võrdsus, mis tähendab, et punkt rahuldab saadud võrrandit.

Järeldus: võrrand leiti õigesti.

Keerulisem näide sõltumatu otsus:

Näide 2

Kirjutage sirge võrrand, kui on teada, et selle kaldenurk telje positiivse suuna suhtes on , ja punkt kuulub sellele sirgele.

Kui teil on raskusi, lugege teoreetiline materjal uuesti läbi. Täpsemalt, asjalikumalt, tunnen puudust paljudest tõestustest.

helises viimane kutse, lõpuball on vaibunud ja väljaspool väravaid kodukool me ootame tegelikult analüütilist geomeetriat. Naljad on läbi... Võib-olla see alles algab =)

Nostalgiliselt vehime käepidemega tuttavale ja tutvume sirge üldvõrrandiga. Kuna analüütilises geomeetrias on kasutusel just see:

Sirge üldvõrrandil on vorm: , kus on mõned numbrid. Samal ajal koefitsiendid samaaegselt ei ole võrdsed nulliga, kuna võrrand kaotab oma tähenduse.

Riietume ülikonda ja seome kaldega võrrandi. Esiteks liigutame kõik terminid vasakule küljele:

Mõiste "x" tuleb asetada esikohale:

Põhimõtteliselt on võrrandil juba vorm , kuid matemaatilise etiketi reeglite kohaselt peab esimese liikme koefitsient (antud juhul ) olema positiivne. Märgid muutuvad:

Mäleta seda tehniline omadus! Teeme esimese koefitsiendi (kõige sagedamini ) positiivseks!

Analüütilises geomeetrias esitatakse sirgjoone võrrand peaaegu alati üldisel kujul. Noh, vajadusel on lihtne viia kaldega “kooli” vormi (erandiks on y-teljega paralleelsed sirged).

Küsigem endalt, mida piisav kas oskate sirgjoont ehitada? Kaks punkti. Aga selle lapsepõlve juhtumi kohta hiljem, nüüd jääb noolte reegel. Igal sirgel on täpselt määratletud kalle, millega on lihtne "kohaneda" vektor.

Vektorit, mis on joonega paralleelne, nimetatakse selle sirge suunavektoriks.. Ilmselgelt on igal sirgel lõpmatult palju suunavektoreid ja kõik need on kollineaarsed (kaassuunatud või mitte – vahet pole).

Tähistan suunavektorit järgmiselt: .

Kuid sirge ehitamiseks ühest vektorist ei piisa, vektor on vaba ja ei ole kinnitatud ühegi tasandi punktiga. Seetõttu on lisaks vaja teada mõnda punkti, mis joonele kuulub.

Kuidas kirjutada sirgjoone võrrandit, kui on antud punkt ja suunavektor?

Kui teatud sirgele kuuluv punkt ja selle sirge suunav vektor on teada, saab selle sirge võrrandi koostada valemiga:

Mõnikord nimetatakse seda sirge kanooniline võrrand .

Mida teha millal üks koordinaatidest on null, vaatleme allpool praktilisi näiteid. Muide, pange tähele - mõlemad korraga koordinaadid ei saa olla nullid, sest nullvektor ei anna konkreetset suunda.

Näide 3

Kirjutage sirge võrrand, millel on punkt ja suunavektor

Lahendus: Koostame sirgjoone võrrandi valemi järgi. Sel juhul:

Kasutades proportsiooni omadusi, vabaneme murdosadest:

Ja me toome võrrandi juurde üldine vaade:

Vastus:

Selliste näidete joonistamine pole reeglina vajalik, kuid mõistmise huvides:

Joonisel näeme alguspunkti, algset suunavektorit (seda saab edasi lükata igast tasapinna punktist) ja konstrueeritud joont. Muide, paljudel juhtudel on sirgjoone ehitamine kõige mugavam kaldevõrrandi abil. Meie võrrandit on lihtne vormile teisendada ja sirge loomiseks saate probleemideta veel ühe punkti üles võtta.

Nagu lõigu alguses märgitud, on sirgel lõpmatult palju suunavektoreid ja need kõik on kollineaarsed. Näiteks joonistasin kolm sellist vektorit: . Ükskõik millise suunavektori me valime, on tulemuseks alati sama sirge võrrand.

Koostame sirgjoone võrrandi punkti ja suunavektori järgi:

Proportsioonide jagamine:

Jagage mõlemad pooled -2-ga ja saate tuttava võrrandi:

Soovijad saavad samamoodi vektoreid testida või mõni muu kollineaarne vektor.

Nüüd lahendame pöördülesande:

Kuidas leida sirge üldvõrrandi järgi suunavektorit?

Väga lihtne:

Kui sirge on antud ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis üldvõrrandiga, siis on vektor selle sirge suunavektor.

Näited sirgjoonte suunavektorite leidmiseks:

Väide võimaldab meil leida lõpmatust hulgast ainult ühe suunavektori, kuid me ei vaja rohkem. Kuigi mõnel juhul on soovitatav suunavektorite koordinaate vähendada:

Seega määrab võrrand sirge, mis on teljega paralleelne ja saadud juhtimisvektori koordinaadid jagatakse mugavalt -2-ga, saades juhtimisvektoriks täpselt baasvektori. Loogiliselt.

Samamoodi defineerib võrrand teljega paralleelse sirge ja jagades vektori koordinaadid 5-ga, saame suunavektoriks ort.

Nüüd teostame kontrolli näide 3. Näide tõusis üles, nii et tuletan teile meelde, et selles lõime sirgjoone võrrandi punkti ja suunavektori abil

Esiteks, vastavalt sirgjoone võrrandile taastame selle suunava vektori: - kõik on korras, saime algse vektori (mõnel juhul võib see osutuda algvektoriga kollineaarseks ja seda on tavaliselt vastavate koordinaatide proportsionaalsuse järgi lihtne näha).

Teiseks, peavad punkti koordinaadid täitma võrrandit . Asendame need võrrandisse:

Õige võrdsus on saavutatud, millega oleme väga rahul.

Järeldus: Töö on õigesti lõpetatud.

Näide 4

Kirjutage sirge võrrand, millel on punkt ja suunavektor

See on tee-seda-ise näide. Lahendus ja vastus tunni lõpus. Väga soovitav on teha kontroll just vaadeldud algoritmi järgi. Proovige alati (võimaluse korral) mustandit kontrollida. Rumal on teha vigu seal, kus neid saab 100% vältida.

Kui üks suunavektori koordinaatidest on null, on seda väga lihtne teha:

Näide 5

Lahendus: valem on kehtetu, kuna paremal pool olev nimetaja on null. Väljapääs on olemas! Kasutades proportsiooni omadusi, kirjutame valemi ümber kujul , ja ülejäänud veeretatakse mööda sügavat roopa:

Vastus:

Uurimine:

1) Taastage sirge suunavektor:
– saadud vektor on kollineaarne algse suunavektoriga.

2) Asendage võrrandi punkti koordinaadid:

Saavutatakse õige võrdsus

Järeldus: töö on õigesti tehtud

Tekib küsimus, miks peaks valemiga vaeva nägema, kui on olemas universaalne versioon, mis töötab nagunii? Põhjuseid on kaks. Esiteks murdosa valem palju parem meeles pidada. Ja teiseks, universaalse valemi puuduseks on see märkimisväärselt suurenenud segiajamise oht koordinaatide asendamisel.

Näide 6

Koostage sirge võrrand punkti ja suunavektoriga.

See on tee-seda-ise näide.

Tuleme tagasi üldlevinud kahe punkti juurde:

Kuidas kirjutada kahe punktiga sirge võrrandit?

Kui on teada kaks punkti, saab neid punkte läbiva sirge võrrandi koostada järgmise valemi abil:

Tegelikult on see omamoodi valem ja siin on põhjus: kui on teada kaks punkti, on vektor selle sirge suunavektor. Õppetunnis Mannekeenide vektorid kaalusime kõige lihtsam ülesanne– kuidas leida kahest punktist vektori koordinaate. Selle ülesande kohaselt on suunavektori koordinaadid:

Märge : punkte saab "vahetada" ja kasutada valemit . Selline otsus oleks võrdne.

Näide 7

Kirjutage kahest punktist sirgjoone võrrand .

Lahendus: Kasutage valemit:

Kammime nimetajaid:

Ja segage tekki:

Nüüd on aeg vabaneda murdarvud. Sel juhul peate mõlemad osad korrutama 6-ga:

Avage sulud ja tooge võrrand meelde:

Vastus:

Uurimine on ilmne - algpunktide koordinaadid peavad vastama saadud võrrandile:

1) Asendage punkti koordinaadid:

Tõeline võrdsus.

2) Asendage punkti koordinaadid:

Tõeline võrdsus.

Järeldus: sirgjoone võrrand on õige.

Kui a vähemalt üks punktidest ei rahulda võrrandit, otsige viga.

Väärib märkimist, et graafiline kontrollimine on sel juhul keeruline, kuna joont tuleb ehitada ja vaadata, kas punktid kuuluvad sellele. , mitte nii lihtne.

Toon välja veel paar. tehnilised probleemid lahendusi. Võib-olla on selles probleemis kasulikum kasutada peegelvalemit ja samade punktide jaoks tee võrrand:

Murdeid on vähem. Soovi korral võid lahenduse lõpuni täita, tulemuseks peaks olema sama võrrand.

Teine punkt on vaadata lõplikku vastust ja vaadata, kas seda saab veelgi lihtsustada? Näiteks kui saadakse võrrand, siis on soovitatav seda kahe võrra vähendada: - võrrand seab sama sirge. See on aga juba jututeema sirgjoonte vastastikune paigutus.

Saanud vastuse Näites 7 kontrollisin igaks juhuks, kas võrrandi KÕIK koefitsiendid jaguvad 2, 3 või 7-ga. Kuigi enamasti tehakse selliseid taandusi lahendamise käigus.

Näide 8

Kirjutage punkte läbiva sirge võrrand .

See on näide iseseisva lahenduse jaoks, mis võimaldab teil lihtsalt arvutustehnikat paremini mõista ja välja töötada.

Sarnaselt eelmise lõiguga: kui valemis üks nimetajatest (suunavektori koordinaat) kaob, siis kirjutame selle ümber kujul . Ja jälle pange tähele, kui kohmetu ja segaduses ta välja nägi. Ma ei näe toomisel erilist mõtet praktilisi näiteid, kuna oleme sellise probleemi juba tegelikult lahendanud (vt nr 5, 6).

Sirge normaalvektor (normaalvektor)

Mis on normaalne? Lihtsate sõnadega, normaalne on risti. See tähendab, et sirge normaalvektor on antud sirgega risti. On ilmne, et igal sirgel on neid lõpmatu arv (nagu ka suunavektoreid) ja kõik sirge normaalvektorid on kollineaarsed (ühissuunalised või mitte - vahet pole).

Nendega tegelemine on veelgi lihtsam kui suunavektoritega:

Kui sirge on antud ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis üldvõrrandiga, siis on vektor selle sirge normaalvektor.

Kui suunavektori koordinaadid tuleb võrrandist ettevaatlikult “välja tõmmata”, siis võib normaalvektori koordinaadid lihtsalt “eemaldada”.

Normaalvektor on alati sirge suunavektoriga ortogonaalne. Kontrollime nende vektorite ortogonaalsust kasutades punktitoode:

Toon näiteid samade võrranditega nagu suunavektori puhul:

Kas on võimalik kirjutada sirge võrrandit, teades üht punkti ja normaalvektorit? Tundub, et see on võimalik. Kui normaalvektor on teada, määratakse ka kõige sirgema joone suund üheselt - see on "jäik struktuur", mille nurk on 90 kraadi.

Kuidas kirjutada sirgjoone võrrandit, kui on antud punkt ja normaalvektor?

Kui on teada mõni sirgele kuuluv punkt ja selle sirge normaalvektor, siis väljendatakse selle sirge võrrandit valemiga:

Siin läks kõik ilma murdude ja muude üllatusteta. Selline on meie normaalvektor. Armastan seda. Ja austus =)

Näide 9

Koostage punkti ja normaalvektoriga sirge võrrand. Leia sirge suunavektor.

Lahendus: Kasutage valemit:

Saadakse sirge üldvõrrand, kontrollime:

1) "Eemaldage" võrrandist normaalvektori koordinaadid: - jah, tõepoolest, algvektor saadakse tingimusest (või vektor peaks olema algvektoriga kollineaarne).

2) Kontrollige, kas punkt vastab võrrandile:

Tõeline võrdsus.

Kui oleme veendunud, et võrrand on õige, täidame ülesande teise, lihtsama osa. Tõmbame välja sirgjoone suunavektori:

Vastus:

Joonisel on olukord järgmine:

Koolituse jaoks sarnane ülesanne iseseisva lahenduse jaoks:

Näide 10

Koostage punkti ja normaalvektoriga sirge võrrand. Leia sirge suunavektor.

Tunni viimane osa on pühendatud vähem levinud, kuid ka olulistele tasapinna sirgjoone võrrandite tüüpidele

Segmentides sirgjoone võrrand.
Sirge võrrand parameetrilisel kujul

Segmentide sirgjoone võrrand on kujul , kus on nullist erinevad konstandid. Teatud tüüpi võrrandeid ei saa sellisel kujul esitada, näiteks otsest proportsionaalsust (kuna vaba liige on null ja paremale poolele ei saa ühte).

See on piltlikult öeldes "tehnilist" tüüpi võrrand. Tavaline ülesanne on kujutada sirge üldvõrrandit sirge võrrandina segmentides. Miks see mugav on? Segmentides sirgjoone võrrand võimaldab kiiresti leida sirge lõikepunktid koordinaatteljed, mis on mõne kõrgema matemaatika ülesande puhul väga oluline.

Leidke sirge ja telje lõikepunkt. Lähtestame "y" ja võrrand võtab kuju . Soovitud punkt saadakse automaatselt: .

Sama teljega on punkt, kus joon lõikub y-teljega.

Võrrand paraboolid on ruutfunktsioon. Selle võrrandi koostamiseks on mitu võimalust. Kõik sõltub sellest, millised parameetrid probleemi olukorras on esitatud.

Juhend

Parabool on kõver, mis meenutab kuju ja on graafik toitefunktsioon. Olenemata sellest, kas paraboolil on omadusi, on see ühtlane. Sellist funktsiooni nimetatakse paaris, y kõigi argumendi väärtuste jaoks definitsioonist, kui argumendi märk muutub, väärtus ei muutu: f (-x) \u003d f (x) Alusta kõige suuremast lihtne funktsioon: y=x^2. Selle vormi põhjal võime järeldada, et see on nii argumendi x positiivsete kui ka negatiivsete väärtuste jaoks. Punkti, kus x = 0 ja samal ajal y = 0, loetakse punktiks.

Allpool on toodud kõik peamised võimalused selle funktsiooni ja selle konstrueerimiseks. Esimese näitena on allpool toodud funktsioon kujul: f(x)=x^2+a, kus a on täisarv Selle funktsiooni graafiku tegemiseks on vaja funktsiooni f(x) graafikut nihutada. ühiku võrra. Näiteks on funktsioon y=x^2+3, kus funktsiooni nihutatakse piki y-telge kahe ühiku võrra. Kui antud funktsioon koos vastupidine märk, näiteks y=x^2-3, siis nihutatakse selle graafik piki y-telge allapoole.

Teine funktsioon, millele saab anda parabooli, on f(x)=(x + a)^2. Sellistel juhtudel nihutatakse graafikut piki x-telge ühiku võrra. Näiteks kaaluge funktsioone: y=(x +4)^2 ja y=(x-4)^2. Esimesel juhul, kui on plussmärgiga funktsioon, nihutatakse graafik piki x-telge vasakule ja teisel juhul paremale. Kõik need juhtumid on näidatud joonisel.

Ülesande lahendamine taandub tavaliselt mõne suuruse väärtuse leidmisele loogilise arutlemise ja arvutuste abil. Näiteks leidke objekti kiirus, aeg, vahemaa, mass või millegi kogus.

Selle probleemi saab lahendada võrrandi abil. Selleks tähistatakse soovitud väärtus muutuja kaudu, seejärel koostatakse ja lahendatakse võrrand loogilise arutluse abil. Olles lahendanud võrrandi, kontrollivad nad, kas võrrandi lahendus vastab ülesande tingimustele.

Tunni sisu

Tundmatut sisaldavate väljendite kirjutamine

Ülesande lahendamisega kaasneb selle ülesande võrrandi koostamine. peal esialgne etappülesandeid õppides on soovitav õppida koostama üht või teist kirjeldavaid sõnasõnalisi väljendeid eluolu. See etapp ei ole keeruline ja seda saab uurida probleemi enda lahendamise protsessis.

Mõelge mitmele olukorrale, mille saab kirjutada matemaatilise avaldise abil.

Ülesanne 1. Isa vanus x aastat. Ema on kaks aastat noorem. Poeg on isast 3 korda noorem. Märgistage väljendite abil igaühe vanus.

Lahendus:

2. ülesanne. Isa vanus x aastat, ema on isast 2 aastat noorem. Poeg on isast 3 korda noorem, tütar emast 3 korda noorem. Märgistage väljendite abil igaühe vanus.

Lahendus:

3. ülesanne. Isa vanus x aastat, ema on isast 3 aastat noorem. Poeg on isast 3 korda noorem, tütar emast 3 korda noorem. Kui vana on kumbki, kui isa, ema, poja ja tütre koguvanus on 92 aastat?

Lahendus:

Selles ülesandes on lisaks väljendite kirjutamisele vaja arvutada iga pereliikme vanus.

Kõigepealt paneme väljendite abil kirja iga pereliikme vanuse. Muutuja kohta x võtame isa vanuse ja siis selle muutuja abil koostame ülejäänud avaldised:

Nüüd määrame iga pereliikme vanuse. Selleks peame kirjutama ja lahendama võrrandi. Meil on kõik võrrandi komponendid valmis. Jääb vaid need kokku koguda.

Koguvanus 92 aastat saadi isa, ema, poja ja tütre vanuse liitmisel:

Iga vanuse jaoks tegime matemaatilise avaldise. Need avaldised on meie võrrandi komponendid. Koostame oma võrrandi selle skeemi ja ülaltoodud tabeli järgi. See tähendab, et sõnad isa, ema, poeg, tütar asendatakse tabelis neile vastava väljendiga:

Ema vanuse väljendus x-3 selguse huvides võeti see sulgudes.

Nüüd lahendame saadud võrrandi. Alustuseks saate võimaluse korral sulgud avada.

Võrrandi murdudest vabastamiseks korrutage mõlemad pooled 3-ga

Lahendame saadud võrrandi tuntud identsete teisenduste abil:

Leidsime muutuja väärtuse x. See muutuja oli vastutav isa vanuse eest. Seega on isa vanus 36 aastat.

Teades isa vanust, saate arvutada ülejäänud pere vanused. Selleks peate asendama muutuja väärtuse x nendes väljendites, mis vastutavad konkreetse pereliikme vanuse eest.

Probleemis öeldi, et ema on isast 3 aastat noorem. Tähistasime tema vanust väljendi kaudu x−3. Muutuv väärtus x on nüüd teada ja ema vanuse arvutamiseks on see avaldises vajalik x-3 selle asemel x asendage leitud väärtus 36

x - 3 \u003d 36 - 3 \u003d 33 aastat vana ema.

Samamoodi määratakse ülejäänud pereliikmete vanus:

Uurimine:

4. ülesanne. Kilogramm õunu on väärt x rubla. Kirjutage üles avaldis, mis arvutab, mitu kilogrammi õunu saate 300 rubla eest osta.

Lahendus

Kui kilogramm õunu maksab x rubla, siis 300 rubla eest saab osta kilogrammi õunu.

Näide. Kilogramm õunu maksab 50 rubla. Siis saate osta 300 rubla eest, see tähendab 6 kilogrammi õunu.

5. ülesanne. peal x rubla, osteti 5 kg õunu. Kirjutage üles avaldis, mis arvutab, mitu rubla maksab üks kilogramm õunu.

Lahendus

Kui 5 kg õunte eest maksti x rubla, siis maksab üks kilogramm rublasid

Näide. 300 rubla eest osteti 5 kg õunu. Siis maksab üks kilogramm õunu, see tähendab 60 rubla.

6. ülesanne. Tom, John ja Leo läksid vahetunni ajal kohvikusse ja ostsid võileiva ja kruusi kohvi. Võileib on väärt x rubla ja tass kohvi - 15 rubla. Määrake võileiva maksumus, kui on teada, et kõige eest maksti 120 rubla?

Lahendus

Muidugi on see probleem nii lihtne kui kolm senti ja seda saab lahendada ilma võrrandit kasutamata. Selleks lahutage 120 rublast kolme tassi kohvi (15 × 3) maksumus ja jagage tulemus 3-ga.

Kuid meie eesmärk on kirjutada ülesande võrrand ja see võrrand lahendada. Seega võileiva maksumus x rubla. Ostetud ainult kolm. Seega, kui hind on kolmekordistunud, saame avaldise, mis kirjeldab, mitu rubla maksti kolme võileiva eest

3x - kolme võileiva maksumus

Ja kolme tassi kohvi maksumuseks võib kirjutada 15 × 3. 15 on ühe tassi kohvi hind ja 3 on kordaja (Tom, John ja Leo), mis kolmekordistab selle kulu.

Vastavalt probleemi seisukorrale maksti kõige eest 120 rubla. Meil on juba ligikaudne skeem, mida tuleb teha:

Meil on juba olemas väljendid, mis kirjeldavad kolme võileiva ja kolme tassi kohvi maksumust. Need on väljendid 3 x ja 15×3. Skeemi abil kirjutame võrrandi ja lahendame selle:

Niisiis, ühe võileiva maksumus on 25 rubla.

Ülesanne lahendatakse õigesti ainult siis, kui selle võrrand on õigesti koostatud. Erinevalt tavalistest võrranditest, mille abil õpime leidma juuri, on ülesannete lahendamise võrranditel oma spetsiifiline rakendus. Sellise võrrandi iga komponenti saab kirjeldada verbaalses vormis. Võrrandi koostamisel tuleb kindlasti aru saada, miks me selle koosseisu ühe või teise komponendi kaasame ja milleks seda vaja on.

Samuti on vaja meeles pidada, et võrrand on võrdsus, mille lahendamist peab vasak pool olema võrdne paremaga. Saadud võrrand ei tohiks selle ideega vastuolus olla.

Kujutage ette, et võrrand on kaal kahe kausi ja ekraaniga, mis näitab tasakaalu seisundit.

AT Sel hetkel ekraanil kuvatakse võrdusmärk. On selge, miks vasak kauss on võrdne parempoolse kausiga – kausside peal pole midagi. Kirjutame kaussidele kaalu oleku ja millegi puudumise, kasutades järgmist võrdsust:

0 = 0

Paneme arbuusi vasakule skaalal:

Vasak kauss kaalus üles parema kausi ja ekraan andis häiresignaali, näidates mittevõrdusmärki (≠). See märk näitab, et vasak kauss ei võrdu parema kausiga.

Nüüd proovime probleemi lahendada. Olgu nõutud, kui palju kaalub arbuus, mis asub vasakul kausil. Aga kust sa tead? Lõppude lõpuks on meie kaalud mõeldud ainult selleks, et kontrollida, kas vasak kauss on võrdne paremaga.

Appi tulevad võrrandid. Tuletage meelde, et definitsiooni järgi on võrrand võrdsus A, mis sisaldab muutujat, mille väärtust soovite leida. Kaalud mängivad sel juhul just selle võrrandi rolli ja arbuusi mass on muutuja, mille väärtus tuleb leida. Meie eesmärk on see võrrand õigeks saada. Saage aru, joondage kaalud nii, et saaksite arbuusi massi arvutada.

Kaalude tasandamiseks võite õigele kausile asetada mõne raske eseme. Näiteks paneme sinna raskuse 7 kg.

Nüüd, vastupidi, parem kauss kaalus üles vasaku. Ekraanil on ikka näha, et kausid pole võrdsed.

Proovime panna vasakpoolsele kausile raskuse 4 kg

Nüüd on kaalud ühtlustunud. Joonis näitab, et vasak kauss on parema kausi tasemel. Ja ekraan näitab võrdusmärki. See märk näitab, et vasak kauss on võrdne parema kausiga.

Seega oleme saanud võrrandi – tundmatut sisaldava võrrandi. Vasakpoolne pann on võrrandi vasak pool, mis koosneb neljast komponendist ja muutujast x(arbuusi mass) ja parempoolne kauss on võrrandi parem pool, mis koosneb komponendist 7.

Noh, pole raske ära arvata, et võrrandi juur on 4 + x\u003d 7 on 3. Seega on arbuusi mass 3 kg.

Sama kehtib ka muude ülesannete kohta. Tundmatu väärtuse leidmiseks lisatakse võrrandi vasakule või paremale poolele erinevad elemendid: terminid, tegurid, avaldised. Kooliprobleemides on need elemendid juba ette antud. Jääb vaid need õigesti struktureerida ja võrrandit koostada. Me oleme sees see näide tegeleb valikuga, proovib erineva massiga raskusi, et arvutada arbuusi mass.

Loomulikult tuleb ülesandes antud andmed esmalt viia sellisele kujule, et neid saaks võrrandisse kaasata. Seetõttu, nagu öeldakse "Meeldib see teile või mitte, peate mõtlema".

Mõelge järgmisele probleemile. Isa vanus võrdub poja ja tütre vanusega kokku. Poeg on tütrest kaks korda vanem ja isast paarkümmend aastat noorem. Kui vana on igaüks?

Tütre vanust võib väljendada kui x. Kui poeg on tütrest kaks korda vanem, märgitakse tema vanuseks 2 x. Probleemi tingimus ütleb, et koos on tütre ja poja vanus võrdne isa vanusega. Nii et isa vanust tähistatakse summaga x + 2x

Avaldisesse saate lisada sarnaseid termineid. Siis märgitakse isa vanuseks 3 x

Nüüd teeme võrrandi. Peame saavutama võrdsuse, milles leiame tundmatu x. Kasutame raskusi. Vasakpoolsele kausile panime isa vanuse (3 x) ja paremal kausil poja vanus (2 x)

On selge, miks vasak kauss kaalus üles parema ja miks kuvatakse ekraanil märk (≠) . On ju loogiline, et isa vanus on suurem kui poja vanus.

Kuid me peame tasakaalustama skaalasid, et saaksime arvutada tundmatut x. Selleks peate õigesse kaussi lisama mõne numbri. Milline number on ülesandes märgitud. Tingimuses oli kirjas, et poeg on isast 20 aastat noorem. Nii et 20 aastat on sama arv, mis tuleb kaalule panna.

Kaalud ühtlustuvad, kui lisame need 20 aastat kaalu paremale poolele. Ehk siis kasvatagem poeg isaealiseks

Nüüd on kaalud ühtlustunud. Selgus võrrand , mida on lihtne lahendada:

x märkisime tütre vanuse. Nüüd oleme leidnud selle muutuja väärtuse. Tütar 20 aastat vana.

Ja lõpuks arvutame välja isa vanuse. Ülesandes oli kirjas, et ta on võrdne summaga poja ja tütre vanus, s.o (20 + 40) aastat.

Pöördume tagasi ülesande keskele ja pöörame tähelepanu ühele punktile. Kui panime kaalule isa ja poja vanuse, kaalus vasak kauss paremat

Kuid me lahendasime selle probleemi, lisades õigele kausile veel 20 aastat. Selle tulemusena võrdusid kaalud ja saime võrdsuse

Aga õigesse kaussi sai neid 20 aastat mitte liita, vaid vasakult lahutada. Sel juhul saavutaksime võrdsuse

Seekord on võrrand . Võrrandi juur on endiselt 20

See tähendab, võrrandid ja on samaväärsed. Ja me mäletame, et samaväärsetel võrranditel on samad juured. Kui vaatate neid kahte võrrandit tähelepanelikult, näete, et teine ​​võrrand saadakse numbri 20 ülekandmisel paremalt küljelt vastupidise märgiga vasakule küljele. Ja see toiming, nagu eelmises õppetükis märgitud, ei muuda võrrandi juuri.

Tähelepanu tuleb pöörata ka sellele, et ülesande lahendamise alguses võiks iga pereliikme vanust tähistada muude väljendite kaudu.

Oletame, et poja vanust tähistatakse x ja kuna ta on tütrest kaks vanem, siis näitab tütre vanust (saage aru, et ta oleks pojast kaks korda noorem). Ja isa vanust, kuna see on poja ja tütre vanuste summa, tähistatakse väljendiga . Ja lõpuks, loogiliselt õige võrrandi koostamiseks tuleb poja vanusele lisada arv 20, sest isa on kakskümmend aastat vanem. Tulemuseks on täiesti erinev võrrand. . Lahendame selle võrrandi

Nagu näete, pole probleemi vastused muutunud. Mu poeg on veel 40-aastane. Tütred on veel aastased, isa aga 40 + 20 aastat vana.

Teisisõnu, probleemi saab lahendada erinevaid meetodeid. Seetõttu ei tohiks heita meelt, et seda või teist probleemi pole võimalik lahendada. Kuid peate meeles pidama, et probleemi lahendamiseks on kõige lihtsamad viisid. Kesklinna viivad erinevad marsruudid, kuid alati on kõige mugavam, kiireim ja turvalisem marsruut.

Näited probleemide lahendamisest

Ülesanne 1. Kahes pakis on 30 märkmikku. Kui esimesest komplektist teise viidaks üle 2 märkmikku, oleks esimeses komplektis kaks korda rohkem märkmikke kui teises. Mitu märkmikku oli igas pakis?

Lahendus

Tähistage x esimeses pakis olnud märkmike arv. Kui märkmikke oleks kokku 30 ja muutuja x see on esimese paki märkmike arv, siis teises pakis olevate märkmike arv tähistatakse avaldisega 30 − x. See tähendab, et me lahutame märkmike koguarvust esimesest pakist pärit märkmike arvu ja saame seeläbi märkmike arvu teisest pakist.

ja lisage need kaks märkmikku teise pakki

Proovime koostada olemasolevatest avaldistest võrrandi. Mõlemad vihikupakid panime kaalule

Vasak kauss on raskem kui parem. Selle põhjuseks on asjaolu, et probleemi seisund ütleb, et pärast seda, kui esimesest komplektist võeti kaks märkmikku ja asetati teise, suurenes esimese kimbu vihikute arv kaks korda suuremaks kui teises.

Skaalade võrdsustamiseks ja võrrandi saamiseks kahekordistage parem külg. Selleks korrutage see 2-ga

Selgub võrrand. Lahendame selle võrrandi:

Esimest pakki tähistasime muutujaga x. Nüüd oleme leidnud selle tähenduse. Muutuv x võrdne 22-ga. Seega oli esimeses pakis 22 märkmikku.

Ja teist pakki tähistasime avaldise 30 − kaudu x ja kuna muutuja väärtus x Nüüd teame, et saame arvutada teises pakis olevate märkmike arvu. See võrdub 30–22, see tähendab 8 tükki.

2. ülesanne. Kaks inimest koorisid kartuleid. Üks kooris kaks kartulit minutis ja teine ​​kolm kartulit. Koos puhastati 400 tükki. Kui kaua igaüks töötas, kui teine ​​töötas 25 minutit rohkem kui esimene?

Lahendus

Tähistage x esimese inimese aeg. Kuna teine ​​inimene töötas 25 minutit rohkem kui esimene, tähistatakse tema aega väljendiga

Esimene tööline kooris 2 kartulit minutis ja kuna ta töötas x minutit, siis kokku lõi ta 2 x kartulid.

Teine inimene kooris kolm kartulit minutis ja kuna ta töötas minutite kaupa, siis kooris ta kartuleid kokku.

Koos kooriti 400 kartulit

Saadaolevate komponentide hulgast koostame ja lahendame võrrandi. Võrrandi vasakul küljel on iga inimese poolt kooritud kartulid ja nende summa paremal küljel:

Selle ülesande lahenduse alguses muutuja kaudu x märkisime ära esimese inimese tööaja. Nüüd oleme leidnud selle muutuja väärtuse. Esimene inimene töötas 65 minutit.

Ja teine ​​inimene töötas minuteid ja muutuja väärtusest alates x nüüd on teada, siis saate arvutada teise inimese aja - see võrdub 65 + 25, see tähendab 90 minutit.

Ülesanne Andrei Petrovitš Kiselevi algebraõpikust. Teesortidest valmistati 32 kg segu. Esimese klassi kilogramm maksab 8 rubla, teise klassi oma 6 rubla. 50 kop. Mitu kilogrammi mõlemat sorti võetakse, kui kilogramm segu maksab (ilma kasumita) 7 rubla. 10 kopikat?

Lahendus

Tähistage x palju esimese klassi teed. Siis tähistatakse teise klassi tee massi avaldise 32 - kaudu x

Kilogramm esimese klassi teed maksab 8 rubla. Kui need kaheksa rubla korrutada esimese klassi tee kilogrammide arvuga, on võimalik teada saada, kui palju rubla maksab. x kg esimese klassi teed.

Kilogramm teise klassi teed maksab 6 rubla. 50 kop. Kui need 6 rubla. 50 kop. korrutada 32-ga − x, siis saate teada, mitu rubla maksab 32 − x kg teise klassi teed.

Tingimus ütleb, et kilogramm segu maksab 7 rubla. 10 kop. Kokku valmis 32 kg segu. Korrutage 7 rubla. 10 kop. kell 32 saame teada, kui palju maksab 32 kg segu.

Avaldised, millest võrrandi koostame, on nüüd järgmisel kujul:

Proovime koostada olemasolevatest avaldistest võrrandi. Paneme kaalu vasakpoolsele pannile esimese ja teise klassi teede segude maksumuse ja paremale pannile 32 kg segu maksumuse, st. kogumaksumus segu, mis sisaldab mõlemat sorti teed:

Selle ülesande lahenduse alguses muutuja kaudu x määrasime esimese klassi tee massi. Nüüd oleme leidnud selle muutuja väärtuse. Muutuv x võrdub 12,8. See tähendab, et segu valmistamiseks kulus 12,8 kg esimese klassi teed.

Ja läbi väljendi 32 − x tähistasime teise klassi tee massi ja muutuse väärtust x nüüd teadaolevalt saame arvutada teise klassi tee massi. See võrdub 32–12,8, see tähendab 19,2. See tähendab, et segu valmistamiseks võeti 19,2 kg teise sordi teed.

3. ülesanne. Jalgrattur läbis vahemaa kiirusega 8 km/h. Ta pidi tagasi tulema teist teed, mis oli 3 km pikem kui esimene, ja kuigi tagasi tulles sõitis ta kiirusega 9 km/h, kasutas ta aega üle minuti. Kui pikad olid teed?

Lahendus

Mõned ülesanded võivad hõlmata teemasid, mida inimene ei pruugi olla õppinud. See ülesanne kuulub sellesse ülesannete hulka. See käsitleb vahemaa, kiiruse ja aja mõisteid. Sellest tulenevalt peab sellise probleemi lahendamiseks omama ettekujutust ülesandes öeldud asjadest. Meie puhul peame teadma, mis on vahemaa, kiirus ja aeg.

Ülesanne on leida kahe tee kaugused. Peame kirjutama võrrandi, mis võimaldab meil neid vahemaid arvutada.

Mõelge vahemaa, kiiruse ja aja seosele. Kõiki neid suurusi saab kirjeldada sõnasõnalise võrrandi abil:

Me kasutame võrrandi koostamiseks ühe neist võrranditest paremat poolt. Selleks, et teada saada, milline neist, tuleb ülesande teksti juurde tagasi pöörduda ja otsida, mida saate tabada

Saate tabada hetke, kus jalgrattur on Kaua aega tagasi võttis rohkem kui minuti. See vihje ütleb meile, et saame kasutada võrrandit, nimelt selle paremat poolt. See võimaldab meil kirjutada võrrandi, mis sisaldab muutujat S .

Seega tähistame esimese tee pikkust kui S. Jalgrattur läbis seda rada kiirusega 8 km/h. Aega, mille jooksul ta selle tee läbis, tähistatakse avaldisega, kuna aeg on läbitud vahemaa ja kiiruse suhe

Jalgratturi jaoks oli tagasitee 3 km pikem. Seetõttu tähistatakse selle kaugust avaldisega S+ 3 . Jalgrattur sõitis seda teed kiirusega 9 km/h. Nii et aega, mille jooksul ta selle tee ületas, tähistatakse väljendiga .

Nüüd teeme olemasolevatest avaldistest võrrandi

Parempoolne kauss on raskem kui vasak. Seda seetõttu, et probleem ütleb, et jalgrattur veetis tagasiteel rohkem aega.

Kaalude võrdsustamiseks lisage need samad minutid vasakule küljele. Kuid kõigepealt teisendame minutid tundideks, kuna ülesandes mõõdetakse kiirust kilomeetrites tunnis, mitte meetrites minutis.

Minutite tundideks teisendamiseks peate need jagama 60-ga

Minutitest saab tunde. Lisage need tunnid võrrandi vasakule küljele:

Selgub võrrand . Lahendame selle võrrandi. Murdudest vabanemiseks saab osa mõlemad osad korrutada 72-ga. Edasi, kasutades teadaolevaid identseid teisendusi, leiame muutuja väärtuse S

Muutuja kaudu S märkisime ära esimese tee kauguse. Nüüd oleme leidnud selle muutuja väärtuse. Muutuv S on 15. Seega on esimese tee vahemaa 15 km.

Ja avaldise kaudu tähistasime teise tee kaugust S+ 3 , ja kuna muutuja väärtus S Nüüd teame, saame arvutada teise tee kauguse. See vahemaa on võrdne summaga 15 + 3, see tähendab 18 km.

4. ülesanne. Kaks autot sõidavad sama kiirusega mööda maanteed alla. Kui esimene suurendab kiirust 10 km/h ja teine ​​vähendab kiirust 10 km/h, siis esimene läbib sama vahemaa 2 tunniga kui teine ​​3 tunniga. Millise kiirusega autod lähevad?

Lahendus

Tähistage v iga auto kiirus. Edasises probleemis antakse vihjeid: tõsta esimese auto kiirust 10 km/h, teise auto kiirust 10 km/h võrra vähendada. Kasutame seda vihjet

Lisaks märgitakse, et sellistel kiirustel (suurendatud ja vähendatud 10 km/h) läbib esimene auto sama vahemaa 2 tunniga kui teine ​​3 tunniga. Fraas "nii palju" võib mõista kui "Esimese auto läbitud vahemaa on võrdub teise auto läbitud vahemaa.

Vahemaa, nagu mäletame, määratakse valemiga. Meid huvitab selle sõnasõnalise võrrandi parem pool – see võimaldab meil kirjutada muutujat sisaldava võrrandi v .

Nii et kiirusega v + 10 km/h esimene auto läheb mööda 2 (v+10) km, ja teine ​​läheb mööda 3 (v − 10) km. Selle tingimuse korral läbivad autod samu vahemaid, seetõttu piisab võrrandi saamiseks nende kahe avaldise ühendamisest võrdusmärgiga. Siis saame võrrandi. Lahendame selle:

Probleemi seisukorras öeldi, et autod sõidavad sama kiirusega. Seda kiirust tähistasime muutujaga v. Nüüd oleme leidnud selle muutuja väärtuse. Muutuv v võrdub 50. Seega oli mõlema auto kiirus 50 km/h.

5. ülesanne. 9 tunniga allavoolu läbib laev sama vahemaa kui 11 tunniga ülesvoolu. Leia paadi kiirus, kui jõe kiirus on 2 km/h.

Lahendus

Tähistage v laeva enda kiirus. Jõe voolu kiirus on 2 km/h. Jõe käigus saab laeva kiirus olema v + 2 km/h, ja vastu voolu - (v − 2) km/h.

Probleemi tingimuses on kirjas, et 9 tunniga läbib laev mööda jõge sama palju kui 11 tunniga vastuvoolu. Fraas "samamoodi" võib mõista kui paadiga mööda jõge läbitud vahemaa 9 tunni jooksul, võrdub vahemaa, mille laev läbis vastu jõevoolu 11 tunniga. See tähendab, et vahemaad jäävad samaks.

Kaugus määratakse valemiga . Kasutame selle sõnasõnalise võrrandi paremat poolt oma võrrandi kirjutamiseks.

Nii et 9 tunni pärast sõidab laev mööda jõge mööda 9 (v + 2) km ja 11 tunni pärast ülesvoolu - 11 (v − 2) km. Kuna mõlemad avaldised kirjeldavad sama kaugust, võrdsustame esimese avaldise teisega. Selle tulemusena saame võrrandi . Lahendame selle:

Tähendab enda kiirus laev on 20 km/h.

Probleemide lahendamisel hea harjumus on eelnevalt kindlaks määrata, millist lahendust sellele otsitakse.

Oletame, et ülesanne nõuab aja leidmist, mis kulub jalakäijal antud tee läbimiseks. Tähistasime aega muutuja kaudu t, siis koostasime seda muutujat sisaldava võrrandi ja leidsime selle väärtuse.

Praktikast teame, et objekti liikumise aeg võib võtta nii täisarvu kui ka murdarvu, näiteks 2 tundi, 1,5 tundi, 0,5 tundi. Siis võime öelda, et sellele probleemile otsitakse lahendust seatud ratsionaalsed arvud K, kuna kõiki väärtusi 2 h, 1,5 h, 0,5 h saab esitada murdarvuna.

Seetõttu on pärast tundmatu suuruse tähistamist muutujaga kasulik näidata, millisesse hulka see suurus kuulub. Meie näites aeg t kuulub ratsionaalarvude hulka K

t ∈ K

Samuti saate muutujale kehtestada piirangu t, mis näitab, et saab ainult nõustuda positiivsed väärtused. Tõepoolest, kui objekt on teel teatud aja veetnud, siis see aeg ei saa olla negatiivne. Seetõttu väljendi kõrval t∈ K täpsustage, et selle väärtus peab olema suurem kui null:

t∈ R, t > 0

Kui võrrandi lahendame, saame muutujale negatiivse väärtuse t, siis on võimalik järeldada, et probleem lahendati valesti, kuna see lahendus ei vasta tingimusele t∈ K , t> 0 .

Veel üks näide. Kui me lahendaksime ülesande, mille puhul on vaja leida inimeste arv, kes teatud tööd teevad, siis tähistaksime seda arvu muutuja kaudu x. Sellise probleemi puhul otsitaks lahendust võtteplatsil naturaalarvud

x ∈ N

Tõepoolest, inimeste arv on täisarv, näiteks 2 inimest, 3 inimest, 5 inimest. Aga mitte 1,5 (üks terve inimene ja pool inimest) või 2,3 (kaks tervet inimest ja veel kolm kümnendikku inimesest).

Siin võiks näidata, et inimeste arv peab olema suurem kui null, kuid naturaalarvude hulka kuuluvad arvud N on ise positiivsed ja suuremad kui null. See komplekt seda ei tee negatiivsed arvud ja arv 0. Seetõttu võib avaldise x > 0 ära jätta.

6. ülesanne. Kooli remontima saabus meeskond, milles maalreid oli 2,5 korda rohkem kui puuseppa. Peagi kaasas töödejuhataja meeskonda veel neli maalrit ja viis puuseppa teisele objektile. Selle tulemusena oli brigaadis 4 korda rohkem maalreid kui puuseppasid. Kui palju maalreid ja kui palju puuseppa algselt brigaadis oli

Lahendus

Tähistage x algselt remonti saabunud puusepad.

Puuseppade arv on nullist suurem täisarv. Seetõttu juhime tähelepanu sellele x kuulub naturaalarvude hulka

x∈N

Maalijaid oli 2,5 korda rohkem kui puuseppa. Seetõttu märgitakse maalijate arv kui 2,5x.

Ja maalijate arv suureneb 4 võrra

Nüüd tähistatakse puuseppade ja maalrite arvu järgmiste väljenditega:

Proovime koostada olemasolevatest avaldistest võrrandi:

Õige kauss on suurem, sest peale nelja maalri lisamist meeskonda ja kahe tisleri teisaldamist teisele objektile osutus maalrite arvuks meeskonnas 4 korda rohkem kui puuseppasid. Kaalude võrdsustamiseks peate vasakut kaussi suurendama 4 korda:

Sai võrrandi. Lahendame selle:

Muutuja kaudu x määrati esialgne puuseppade arv. Nüüd oleme leidnud selle muutuja väärtuse. Muutuv x võrdub 8. Nii et algselt oli brigaadis 8 puuseppa.

Ja maalijate arv oli näidatud avaldise 2,5 kaudu x ja kuna muutuja väärtus x nüüd on teada, siis saate arvutada maalijate arvu - see on 2,5 × 8, see tähendab 20.

Naaseme ülesande algusesse ja veendume, et tingimus on täidetud x∈ N. Muutuv x võrdub 8-ga ja naturaalarvude hulga elemendid N need on kõik arvud, mis algavad 1, 2, 3 ja nii edasi lõpmatuseni. Samas komplektis on ka number 8, mille leidsime.

8 ∈N

Sama võib öelda ka maalijate arvu kohta. Arv 20 kuulub naturaalarvude hulka:

20 ∈N

Et mõista probleemi olemust ja õige koostamine võrrandit, pole kausside puhul vaja kasutada skaalamudelit. Võite kasutada muid mudeleid: segmente, tabeleid, diagramme. Võite välja mõelda oma mudeli, mis kirjeldaks hästi probleemi olemust.

Ülesanne 9. Purgist valati 30% piima. Selle tulemusena jäi sinna 14 liitrit. Mitu liitrit piima algselt purgis oli?

Lahendus

Soovitud väärtus on esialgne liitrite arv purgis. Joonistage liitrite arv joonena ja märgistage see joon X-ga

Väidetavalt valati 30% piimast purgist välja. Valime joonisel umbes 30%

Protsent on definitsiooni järgi üks sajandik millestki. Kui 30% piimast valati välja, siis ülejäänud 70% jäi purki. Need 70% moodustavad probleemis märgitud 14 liitrit. Valige jooniselt ülejäänud 70%.

Nüüd saate teha võrrandi. Tuletagem meelde, kuidas leida arvu protsent. Selleks jagatakse millegi kogusumma 100-ga ja tulemus korrutatakse soovitud protsendiga. Pange tähele, et 14 liitrit, mis on 70%, saab samamoodi: esialgne liitrite arv X jagage 100-ga ja korrutage tulemus 70-ga. Võrdlege see kõik arvuga 14

Või hankige lihtsam võrrand: kirjutage 70% väärtuseks 0,70, seejärel korrutage X-ga ja võrdsustage see avaldis 14-ga

See tähendab, et esialgu oli purgis 20 liitrit piima.

Ülesanne 9. Nad võtsid kaks kulla ja hõbeda sulamit. Ühes on nende metallide suhe 1:9 ja teises 2:3. Kui palju tuleks igast sulamist võtta, et saada 15 kg uut sulamit, milles kuld ja hõbe oleks omavahel seotud 1:4 ?

Lahendus

Proovime esmalt välja selgitada, kui palju kulda ja hõbedat sisaldab 15 kg uut sulamit. Ülesanne ütleb, et nende metallide sisaldus peaks olema vahekorras 1: 4, see tähendab, et kuld peaks olema sulamist üks osa ja hõbe peaks olema neli osa. Siis on sulami osade koguarv 1 + 4 = 5 ja ühe osa mass on 15: 5 = 3 kg.

Teeme kindlaks, kui palju kulda sisaldab 15 kg sulamit. Selleks korrutage 3 kg kullaosade arvuga:

3 kg × 1 = 3 kg

Teeme kindlaks, kui palju hõbedat sisaldab 15 kg sulamit:

3 kg × 4 = 12 kg

See tähendab, et 15 kg kaaluv sulam sisaldab 3 kg kulda ja 12 kg hõbedat. Nüüd tagasi algsete sulamite juurde. Peate kasutama igaüks neist. Tähistage x esimese sulami massi ja teise sulami massi võib tähistada 15-ga - x

Avaldame protsentides kõik ülesandes toodud seosed ja täidame nendega alljärgneva tabeli:

Esimeses sulamis on kuld ja hõbe vahekorras 1: 9. Siis on osade koguarv 1 + 9 = 10. Nendest tuleb kulda , ja hõbedat .

Kanname need andmed tabelisse. 10% kantakse veeru esimesele reale "kulla protsent sulamis", 90% sisestatakse ka veeru esimesele reale "hõbeda protsent sulamis", ja viimases veerus "sulami kaal" sisestage muutuja x, kuna esimese sulami massi tähistasime järgmiselt:

Teeme sama teise sulamiga. Kuld ja hõbe selles on vahekorras 2: 3. Siis on kokku 2 + 3 = 5 osa. Neist kulda , ja hõbedat .

Kanname need andmed tabelisse. 40% kantakse veeru teisele reale "kulla protsent sulamis", 60% sisestatakse ka veeru teisele reale "hõbeda protsent sulamis", ja viimases veerus "sulami kaal" sisestage avaldis 15 − x, sest nii tähistasime teise sulami massi:

Täidame viimase rea. Saadud 15 kg kaaluv sulam sisaldab 3 kg kulda, mis on sulam ja hõbe saab olema sulam. Viimases veerus kirjutame üles saadud sulami 15 massi

Nüüd saate selle tabeli abil võrrandeid kirjutada. Me mäletame. Kui liidame mõlema sulami kullad eraldi kokku ja võrdsustame selle koguse saadud sulami kulla massiga, saame teada, milline on selle väärtus x.

Esimesel kullasulamil oli 0,10 x, ja teises kullasulamis oli see 0,40(15 − x) . Seejärel on saadud sulamis kulla mass esimese ja teise sulami kulla masside summa ning see mass on 20% uue sulami massist. Ja 20% uuest sulamist on meie poolt varem arvutatud 3 kg kulda. Selle tulemusena saame võrrandi 0,10x+ 0.40(15 − x) = 3 . Lahendame selle võrrandi:

Esialgu läbi x oleme määranud esimese sulami massi. Nüüd oleme leidnud selle muutuja väärtuse. Muutuv x on võrdne 10-ga. Ja teise sulami massi tähistasime läbi 15 − x, ja kuna muutuja väärtus x nüüd on teada, siis saame arvutada teise sulami massi, see on võrdne 15 − 10 = 5 kg.

See tähendab, et uue 15 kg kaaluva sulami saamiseks, milles kulda ja hõbedat käsitletaks 1:4, peate võtma 10 kg esimest ja 5 kg teist sulamit.

Võrrandi saab koostada saadud tabeli teise veeru abil. Siis saaksime võrrandi 0,90x+ 0.60(15 − x) = 12. Selle võrrandi juur on samuti 10

Ülesanne 10. Seal on maaki kahest kihist vasesisaldusega 6% ja 11%. Kui palju tuleks võtta madalakvaliteedilist maaki, et seda saada, kui segada 8% vasesisaldusega 20 tonni?

Lahendus

Tähistage x kehva maagi mass. Kuna teil on vaja saada 20 tonni maaki, siis võetakse 20 rikkalikku maaki − x. Kuna vasesisaldus kehvas maagis on 6%, siis in x tonni maaki sisaldab 0,06 x tonni vaske. Rikkalikus maagis on vasesisaldus 11% ja 20 - x tonni rikkalikku maaki sisaldab 0,11(20 − x) tonni vaske.

Saadud 20 tonni maagis peaks vasesisaldus olema 8%. See tähendab, et 20 tonni vasemaagis on 20 × 0,08 = 1,6 tonni.

Lisa avaldised 0.06 x ja 0,11(20 − x) ja võrdsustage see summa 1,6-ga. Saame võrrandi 0,06x + 0,11(20 − x) = 1,6

Lahendame selle võrrandi:

See tähendab, et 20 tonni 8% vasesisaldusega maagi saamiseks tuleb võtta 12 tonni kehva maaki. Rikkad võtavad 20–12 = 8 tonni.

Ülesanne 11. Olles tõstnud keskmise kiiruse 250-lt 300 m/min peale, hakkas sportlane distantsi jooksma 1 minut kiiremini. Mis on vahemaa pikkus?

Lahendus

Vahemaa pikkust (või kauguse kaugust) saab kirjeldada järgmise tähtvõrrandiga:

Kasutame selle võrrandi paremat poolt oma võrrandi kirjutamiseks. Esialgu läbis sportlane distantsi kiirusega 250 meetrit minutis. Sellel kiirusel kirjeldatakse distantsi pikkust avaldisega 250 t

Seejärel tõstis sportlane kiirust 300 meetrini minutis. Sellel kiirusel kirjeldatakse vahemaa pikkust avaldisega 300t

Pange tähele, et vahemaa pikkus on konstantne väärtus. Alates sellest, et sportlane suurendab või vähendab kiirust, jääb distantsi pikkus muutumatuks.

See võimaldab meil võrdsustada avaldisega 250 t väljendile 300 t, kuna mõlemad avaldised kirjeldavad sama vahemaa pikkust

250t = 300t

Kuid ülesanne ütleb, et kiirusel 300 meetrit minutis hakkas sportlane distantsi jooksma 1 minut kiiremini. Ehk siis kiirusel 300 meetrit minutis väheneb sõiduaeg ühe võrra. Seetõttu võrrandis 250 t= 300t paremal küljel tuleb aega ühe võrra vähendada:

Kiirusel 250 meetrit minutis läbib sportlane distantsi 6 minutiga. Teades kiirust ja aega, saate määrata distantsi pikkuse:

S= 250 × 6 = 1500 m

Ja kiirusel 300 meetrit minutis läbib sportlane distantsi t− 1 ehk 5 minuti pärast. Nagu varem mainitud, ei muutu distantsi pikkus:

S= 300 × 5 = 1500 m

12. ülesanne. Rattur möödub temast 15 km ees olevast jalakäijast. Mitme tunni pärast jõuab rattur jalakäijale järele, kui iga tunni järel läbib esimene sõitja 10 km ja teine ​​ainult 4 km?

Lahendus

See ülesanne on. Seda saab lahendada lähenemiskiiruse määramisega ning selle kiirusega jagades sõitja ja jalakäija vahelise algkauguse.

Sulgemiskiirus määratakse väiksema kiiruse lahutamisel suuremast:

10 km/h − 4 km/h = 6 km/h (lähenemiskiirus)

Iga tunniga lüheneb 15-kilomeetrine distants 6 kilomeetri võrra. Et teada saada, millal see täielikult väheneb (kui rattur jalakäijale järele jõuab), peate jagama 15 6-ga

15:6 = 2,5 tundi

2,5 h see on tervelt kaks tundi ja pool tundi. Ja pool tundi on 30 minutit. Seega möödub rattur jalakäijast 2 tunni ja 30 minutiga.

Lahendame selle ülesande võrrandi abil.

Pärast seda asus tema järel teele sõitja kiirusega 10 km / h. Ja kõndimiskiirus on vaid 4 km/h. See tähendab, et sõitja möödub mõne aja pärast jalakäijast. Peame selle aja leidma.

Kui rattur jalakäijale järele jõuab, tähendab see, et nad on koos läbinud sama vahemaa. Sõitja ja jalakäija läbitud vahemaad kirjeldatakse järgmise võrrandiga:

Kasutame selle võrrandi paremat poolt oma võrrandi kirjutamiseks.

Sõitja läbitud vahemaad kirjeldatakse avaldisega 10 t. Kuna jalakäija asus enne ratturit teele ja suutis ületada 15 km, kirjeldatakse tema läbitud vahemaad väljendiga 4 t + 15 .

Selleks ajaks, kui rattur jalakäijale järele jõuab, on mõlemad läbinud sama vahemaa. See võimaldab võrdsustada sõitja ja kõndija läbitud vahemaad:

Tulemuseks on lihtne võrrand. Lahendame selle:

Ülesanded iseseisvaks lahendamiseks

Ülesanne 1. Reisirong jõuab ühest linnast teise 45 minutit kiiremini kui kaubarong. Arvutage linnade vaheline kaugus, kui reisirongi kiirus on 48 km/h ja kaubarongi kiirus on 36 km/h.

Lahendus

Rongi kiirusi selles probleemis mõõdetakse kilomeetrites tunnis. Seetõttu teisendame ülesandes märgitud 45 minutit tundideks. 45 minutit on 0,75 tundi

Tähistame muutuja kaudu aega, mille jooksul kaubarong linna jõuab t. Kuna reisirong jõuab sellesse linna 0,75 tundi kiiremini, tähistatakse selle liikumisaega väljendiga t - 0,75

Reisirong ületas 48( t - 0,75) km ja kaup 36 t km. Kuna me räägime samast kaugusest, võrdsustame esimese avaldise teisega. Selle tulemusena saame võrrandi 48(t - 0.75) = 36t . Lahendame selle:

Nüüd arvutame linnadevahelise kauguse. Selleks korrutatakse kaubarongi kiirus (36 km/h) selle liikumise ajaga t. Muutuv väärtus t nüüd teada - see võrdub kolme tunniga

36 × 3 = 108 km

Vahemaa arvutamiseks saab kasutada ka reisirongi kiirust. Aga antud juhul muutuja väärtus

Muutuv väärtus t võrdub 1,2. Nii kohtusid autod 1,2 tunni pärast.

Vastus: autod kohtusid 1,2 tunni pärast.

Ülesanne 3. Tehase kolmes töökojas on kokku 685 töölist. Teises poes on kolm korda rohkem töötajaid kui esimeses ja kolmandas - 15 töötajat vähem kui teises poes. Kui palju töötajaid on igas poes?

Lahendus

Lase x töölised olid esimeses poes. Teises töökojas oli kolm korda rohkem kui esimeses, seega saab teise töökoja töötajate arvu tähistada avaldisega 3 x. Kolmandas poes oli 15 töötajat vähem kui teises. Seetõttu saab kolmanda töökoja töötajate arvu tähistada avaldisega 3 x - 15 .

Ülesanne ütleb, et töölisi oli kokku 685. Seega saame avaldised lisada x, 3x, 3x - 15 ja võrdsusta see summa arvuga 685. Selle tulemusena saame võrrandi x + 3x + ( 3x - 15) = 685

Muutuja kaudu x märgiti esimese töökoja tööliste arv. Nüüd oleme leidnud selle muutuja väärtuse, see on võrdne 100-ga. Seega oli esimeses poes 100 töötajat.

Teises töötoas oli 3 x töötajaid, st 3 × 100 = 300. Ja kolmandas töötoas oli 3 x - 15, st 3 × 100 - 15 = 285

Vastus: esimeses töökojas oli 100 töötajat, teises - 300, kolmandas - 285.

Ülesanne 4. Kaks remonditöökoda peaksid nädala jooksul plaani järgi remontima 18 mootorit. Esimene töökoda täitis plaani 120% ja teine ​​125%, nii et nädalaga sai remonditud 22 mootorit. Milline iganädalane mootori remondiplaan oli igal töökojal?

Lahendus

Lase x mootoreid pidi remontima esimene töökoda. Siis tuli renoveerida teine ​​töökoda 18 − x mootorid.

Kuna esimene töökoda täitis oma plaani 120%, tähendab see, et ta on parandanud 1.2 x mootorid. Ja teine ​​töökoda täitis oma plaani 125%, mis tähendab, et remondis 1,25 (18 − x) mootorid.

Ülesanne ütleb, et remonditi 22 mootorit. Seetõttu saame avaldised lisada 1,2x ja 1,25(18 − x) , siis võrdsusta see summa arvuga 22. Selle tulemusena saame võrrandi 1,2x + 1,25(18− x) = 22

Muutuja kaudu x märgiti mootorite arv, mida esimene töökoda pidi parandama. Nüüd oleme leidnud selle muutuja väärtuse, see on võrdne 10-ga. Seega tuli esimeses töökojas remontida 10 mootorit.

Ja läbi avaldise 18 − x märgiti mootorite arv, mida teine ​​töökoda pidi parandama. Seega tuli teises töökojas remontida 18 − 10 = 8 mootorit.

Vastus: esimene töökoda pidi parandama 10 mootorit ja teine ​​8 mootorit.

Probleem 5. Kauba hind on tõusnud 30% ja on nüüd 91 rubla. Kui palju oli toode enne hinnatõusu?

Lahendus

Lase x rubla väärtuses kaupa enne hinnatõusu. Kui hind on tõusnud 30%, tähendab see, et see on tõusnud 0,30 võrra x rubla. Pärast hinnatõusu hakkas kaup maksma 91 rubla. Lisage x 0,30-ga x ja võrdsustame selle summa 91-ga. Selle tulemusena saame võrrandi Arvu 10% võrra vähendamine andis tulemuseks 45. Leia arvu algväärtus. x -

Vastus: 12% soolalahuse saamiseks peate lisama 0,25 kg 20% ​​lahust 1 kg 10% lahusele.

Ülesanne 12. Antud on kaks soola lahust vees, mille kontsentratsioonid on 20% ja 30%. Mitu kilogrammi iga lahust tuleb ühes anumas segada, et saada 25 kg 25,2% lahust?

Lahendus

Lase x tuleb võtta kg esimest lahust. Kuna selleks on vaja valmistada 25 kg lahust, saab teise lahuse massi tähistada avaldisega 25 − x.

Esimene lahus sisaldab 0,20x kg soola ja teine ​​0,30(25-x) kg soola. Saadud lahuses on soola sisaldus 25 × 0,252 = 6,3 kg. Lisage avaldised 0,20x ja 0,30(25 − x), seejärel võrdsustage see summa 6,3-ga. Selle tulemusena saame võrrandi

Seega tuleb esimest lahendust võtta 12 kg ja teist 25–12 = 13 kg.

Vastus: esimene lahus peate võtma 12 kg ja teine ​​​​13 kg.

Kas teile tund meeldis?
Liituge meiega uus grupp Vkontakte ja hakake uute õppetundide kohta teatisi saama